# 微積分學/求和符號

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${\displaystyle \sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}}$

${\displaystyle f}$為函數，${\displaystyle M,N}$為整數且${\displaystyle N，則

${\displaystyle \sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)}$

${\displaystyle N}$為下極限，${\displaystyle M}$為上極限。

${\displaystyle i}$也可以用別的字母代替，因此，我們稱${\displaystyle i}$虛擬變量。所以

${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^{4}\alpha =1+2+3+4}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5}$

${\displaystyle \sum _{1}^{4}i^{3}=100}$

### 常用結論

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]}$

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