求和符號使求和的表達式更簡單緊湊。大寫的希臘字母Σ被用來表示一組數字的總和。
設 f {\displaystyle f} 為函數, M , N {\displaystyle M,N} 為整數且 N < M {\displaystyle N<M} ,則 ∑ i = N M f ( i ) = f ( N ) + f ( N + 1 ) + f ( N + 2 ) + ⋯ + f ( M ) {\displaystyle \sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)} 稱 N {\displaystyle N} 為下極限, M {\displaystyle M} 為上極限。
設 f {\displaystyle f} 為函數, M , N {\displaystyle M,N} 為整數且 N < M {\displaystyle N<M} ,則
稱 N {\displaystyle N} 為下極限, M {\displaystyle M} 為上極限。
i {\displaystyle i} 也可以用別的字母代替,因此,我們稱 i {\displaystyle i} 為虛擬變量。所以
通常我們使用字母 i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} , k {\displaystyle k} , m {\displaystyle m} 表示虛擬變量。
本例中,虛擬變量為 i {\displaystyle i} ,下極限為1,上極限為5。
有時式中沒有虛擬變量,比如說
此時虛擬變量可從上下文得知。
∑ i = 1 n c = c + c + ⋯ + c = n c , c ∈ R {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R} }
∑ i = 1 n i = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = ( ∑ i = 1 n i ) 2 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}
∑ i = 1 ∞ a i = lim t → ∞ [ ∑ i = 1 t a i ] {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]}
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