按照一定的顺序排列的一列数叫做数列 （Sequence of number），数列中的每个数叫做这个数列的项 ，数列中的每一个数都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常叫做首项），排在第二位的数叫做数列的第二项……以此类推，排在第n位的数叫做这个数列的第n项。 所以，数列的一般形式可以写成
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
图2-1-1 简记为
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
有穷数列 ，而项目无穷的数列则称之为无穷数列 。
数列可以看成正整数集N*（或其有限子集）为定义域的函数
a
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle a_{n}=f(n)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
f
(
i
)
{\displaystyle f(i)}
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
{\displaystyle i=1,2,3,\cdots }
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
f
(
3
)
,
⋯
,
f
(
n
)
⋯
{\displaystyle f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n)\cdots }
如果数列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
通项公式 。我们可以通过这个公式计算出数列的各个项。
一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看作最简单的等差数列，此时，A叫做a和b的等差中项(arithmetic mean)。
一般的,如果等差数列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
a
2
−
a
1
=
d
,
a
3
−
a
2
=
d
,
a
4
−
a
3
=
d
,
⋯
{\displaystyle a_{2}-a_{1}=d,a_{3}-a_{2}=d,a_{4}-a_{3}=d,\cdots }
所以
a
2
=
a
1
+
d
,
{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d,}
a
3
=
a
2
+
d
=
(
a
1
+
d
)
+
d
=
a
1
+
2
d
,
{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2d,}
a
4
=
a
3
+
d
=
(
a
1
+
2
d
)
+
d
=
a
1
+
3
d
{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2d\right)+d=a_{1}+3d}
…………
由此可得等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
首先,引入一个小故事.
200多年前,高斯的数学老师提出了下面的问题：
1
+
2
+
3
+
⋯
+
=
100
=
?
{\displaystyle 1+2+3+\cdots +=100=?}
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法算出了正确答案：
(
1
+
100
)
+
(
2
+
99
)
+
⋯
+
(
50
+
51
)
=
101
×
50
=
5050
{\displaystyle \left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\cdots +\left(50+51\right)=101\times 50=5050}
一般的,我们称
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
S
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}
由高斯算法的启示，对于公差为
d
{\displaystyle d}
S
n
=
a
1
+
(
a
1
+
d
)
+
(
a
1
+
2
d
)
+
⋯
+
[
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]}
S
n
=
a
n
+
(
a
n
−
d
)
+
(
a
n
−
2
d
)
+
⋯
+
[
a
n
−
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]}
由①+②得到：
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
1
+
a
n
)
+
⋯
+
(
a
1
+
a
n
)
{\displaystyle 2S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\cdots +\left(a_{1}+a_{n}\right)}
由此得到等差数列的前n项和的公式
S
n
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
如果代入等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
S
n
=
n
a
1
+
n
(
n
−
1
)
2
d
{\displaystyle S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d}
再引入一个实例：
1.细胞分裂的个数可以组成下面的数列：
1
,
2
,
4
,
8
,
⋯
{\displaystyle 1,2,4,8,\cdots }
2.一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒成为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1
,
20
,
20
2
,
20
3
,
⋯
{\displaystyle 1,20,20^{2},20^{3},\cdots }
可以看到，这些数列都有一个特点：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一常数。
一般的如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么称这个数列为等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母
q
{\displaystyle q}
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
与等差数列的概念类似，如果在a，b中间插入一个数G，那么G叫做a和b的等比中项。
下面我们来研究等比数列的通项公式。
通过上面两个实例，类比等差数列的推导过程，可以得到等比数列的通项公式：
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放一粒麦粒，第二个格子里放上两颗麦粒，第三个格子里放上四颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的二倍，直到第64个格子，请满足我的要求。”国王认为这个要求不高，就同意了。如果1000粒麦子的质量是40g，根据调查，目前世界小麦年产量为6亿吨。根据以上数据判断国王能否实现它的诺言。
我们分析一下，如果把各个格所放的麦粒看做一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。
一般的，对于等比数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
根据等比数列的通项公式，上面的式子可以写成
S
n
=
a
1
+
a
1
q
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n}-1+a_{1}q^{n}}
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可以得到：
q
S
n
=
a
1
q
+
a
1
q
2
+
⋯
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}}
①、②的右边有很多相同的项，用①分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得
(
1
−
q
)
S
n
=
a
1
−
a
1
q
n
{\displaystyle \left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}}
当
q
≠
1
{\displaystyle q\neq 1}
S
n
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
(
q
≠
1
)
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)}
因为
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
S
n
=
a
1
−
a
n
q
1
−
q
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}}
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题。由
a
1
=
1
,
q
−
2
,
n
=
64
{\displaystyle a_{1}=1,q-2,n=64}
S
64
=
1
×
(
1
−
2
64
)
1
−
2
=
2
64
−
1
{\displaystyle S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1}
这个数很大，超过了1.84×1019 ，估计一千粒麦子的质量约为40克，那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨，因此，国王根本不能实现它的诺言。
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a91f6220969adc980364454eea08b8d27b3074)
![{\displaystyle S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c9b5ba959182a7aa0f42775569faf0c67117a6)
