按照一定的順序排列的一列數叫做數列 （Sequence of number），數列中的每個數叫做這個數列的項 ，數列中的每一個數都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第一項（通常叫做首項），排在第二位的數叫做數列的第二項……以此類推，排在第n位的數叫做這個數列的第n項。 所以，數列的一般形式可以寫成
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
圖2-1-1 簡記為
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
有窮數列 ，而項目無窮的數列則稱之為無窮數列 。
數列可以看成正整數集N*（或其有限子集）為定義域的函數
a
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle a_{n}=f(n)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
f
(
i
)
{\displaystyle f(i)}
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
{\displaystyle i=1,2,3,\cdots }
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
f
(
3
)
,
⋯
,
f
(
n
)
⋯
{\displaystyle f(1),f(2),f(3),\cdots ,f(n)\cdots }
如果數列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
通項公式 。我們可以通過這個公式計算出數列的各個項。
一般的,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,那麼這個數列叫做等差數列(arithmetic sequence),這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看作最簡單的等差數列，此時，A叫做a和b的等差中項(arithmetic mean)。
一般的,如果等差數列
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
a
2
−
a
1
=
d
,
a
3
−
a
2
=
d
,
a
4
−
a
3
=
d
,
⋯
{\displaystyle a_{2}-a_{1}=d,a_{3}-a_{2}=d,a_{4}-a_{3}=d,\cdots }
所以
a
2
=
a
1
+
d
,
{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d,}
a
3
=
a
2
+
d
=
(
a
1
+
d
)
+
d
=
a
1
+
2
d
,
{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2d,}
a
4
=
a
3
+
d
=
(
a
1
+
2
d
)
+
d
=
a
1
+
3
d
{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2d\right)+d=a_{1}+3d}
…………
由此可得等差數列的通項公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
首先,引入一個小故事.
200多年前,高斯的數學老師提出了下面的問題：
1
+
2
+
3
+
⋯
+
=
100
=
?
{\displaystyle 1+2+3+\cdots +=100=?}
據說，當其他同學忙於把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法算出了正確答案：
(
1
+
100
)
+
(
2
+
99
)
+
⋯
+
(
50
+
51
)
=
101
×
50
=
5050
{\displaystyle \left(1+100\right)+\left(2+99\right)+\cdots +\left(50+51\right)=101\times 50=5050}
一般的,我們稱
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
{
a
n
}
{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}
S
n
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}
由高斯算法的啟示，對於公差為
d
{\displaystyle d}
S
n
=
a
1
+
(
a
1
+
d
)
+
(
a
1
+
2
d
)
+
⋯
+
[
a
1
+
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]}
S
n
=
a
n
+
(
a
n
−
d
)
+
(
a
n
−
2
d
)
+
⋯
+
[
a
n
−
(
n
−
1
)
d
]
{\displaystyle S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]}
由①+②得到：
2
S
n
=
(
a
1
+
a
n
)
+
(
a
1
+
a
n
)
+
⋯
+
(
a
1
+
a
n
)
{\displaystyle 2S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\cdots +\left(a_{1}+a_{n}\right)}
由此得到等差數列的前n項和的公式
S
n
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
如果代入等差數列的通項公式
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
S
n
=
n
a
1
+
n
(
n
−
1
)
2
d
{\displaystyle S_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d}
再引入一個實例：
1.細胞分裂的個數可以組成下面的數列：
1
,
2
,
4
,
8
,
⋯
{\displaystyle 1,2,4,8,\cdots }
2.一輪計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱為第一輪，郵件接收者發送病毒成為第二輪，以此類推。假設每一輪每一台計算機都感染20台計算機，那麼在不重複的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是：
1
,
20
,
20
2
,
20
3
,
⋯
{\displaystyle 1,20,20^{2},20^{3},\cdots }
可以看到，這些數列都有一個特點：從第二項起，每一項與它前一項的比等於同一常數。
一般的如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比等於同一常數，那麼稱這個數列為等比數列（geometric sequence），這個常數叫做等比數列的公比，公比常用字母
q
{\displaystyle q}
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
與等差數列的概念類似，如果在a，b中間插入一個數G，那麼G叫做a和b的等比中項。
下面我們來研究等比數列的通項公式。
通過上面兩個實例，類比等差數列的推導過程，可以得到等比數列的通項公式：
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
國際象棋起源於古代印度。相傳國王要獎勵國際象棋的發明者，問他想要什麼。發明者說：「請在棋盤的第一個格子裏放一粒麥粒，第二個格子裏放上兩顆麥粒，第三個格子裏放上四顆麥粒，以此類推，每個格子裏放的麥粒都是前一個格子麥粒數的二倍，直到第64個格子，請滿足我的要求。」國王認為這個要求不高，就同意了。如果1000粒麥子的質量是40g，根據調查，目前世界小麥年產量為6億噸。根據以上數據判斷國王能否實現它的諾言。
我們分析一下，如果把各個格所放的麥粒看做一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒總和就是求這個數列前64項的和。
一般的，對於等比數列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
,
a
n
,
⋯
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots }
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}
根據等比數列的通項公式，上面的式子可以寫成
S
n
=
a
1
+
a
1
q
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n}-1+a_{1}q^{n}}
我們發現，如果用公比q乘①的兩邊，可以得到：
q
S
n
=
a
1
q
+
a
1
q
2
+
⋯
+
a
1
q
n
−
1
+
a
1
q
n
{\displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}}
①、②的右邊有很多相同的項，用①分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，得
(
1
−
q
)
S
n
=
a
1
−
a
1
q
n
{\displaystyle \left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}}
當
q
≠
1
{\displaystyle q\neq 1}
S
n
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
(
q
≠
1
)
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)}
因為
a
n
=
a
1
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{n-1}}
S
n
=
a
1
−
a
n
q
1
−
q
{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}}
有了上述公式，就可以解決本節開頭提出的問題。由
a
1
=
1
,
q
−
2
,
n
=
64
{\displaystyle a_{1}=1,q-2,n=64}
S
64
=
1
×
(
1
−
2
64
)
1
−
2
=
2
64
−
1
{\displaystyle S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1}
這個數很大，超過了1.84×1019 ，估計一千粒麥子的質量約為40克，那麼以上麥粒總質量超過了7000億噸，因此，國王根本不能實現它的諾言。
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2d\right)+\cdots +\left[a_{1}+\left(n-1\right)d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a91f6220969adc980364454eea08b8d27b3074)
![{\displaystyle S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2d\right)+\cdots +\left[a_{n}-\left(n-1\right)d\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c9b5ba959182a7aa0f42775569faf0c67117a6)
