微积分学/比较审敛法

比较审敛法

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比较审敛法

若级数  在区间 上满足 ,则

  1.  发散,则 发散
  2.  收敛,则 收敛

已知级数 发散,判断下列级数敛散性:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

解答

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  1. 级数可改写为 ,故级数发散。
  2. 级数可改写为 ,故级数发散。
  3. 级数可改写为 ,即  ,故级数发散。
  4. 对任意  大于 ,故级数发散。
  5. 对任意  小于 ,故需要进一步分析以确定级数敛散性。

已知级数 收敛,判断下列级数敛散性:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

解答

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  1.  递减的速度比 快,但级数不满足 ,因为  大于 。为此,我们可删掉第一项,得到  。比较  可得  收敛。
  2. 对任意  小于  ,故级数收敛。
  3. 对任意  小于 小于等于 ,故级数收敛。
  4. 级数可改写为 ,故级数收敛。
  5. 对任意  大于 ,故需要进一步分析以确定级数敛散性。
  6. 级数不满足非负的要求,故需要进一步分析以确定级数敛散性。