# 微积分学/比较审敛法

## 比较审敛法

1. ${\displaystyle Z}$ 发散，则${\displaystyle S}$ 发散
2. ${\displaystyle S}$ 收敛，则${\displaystyle Z}$ 收敛

### 例1

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n}}}$
4. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

### 解答

1. 级数可改写为${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ ，故级数发散。
2. 级数可改写为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ ，故级数发散。
3. 级数可改写为${\displaystyle 3\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ ，即 ${\displaystyle 3\times \infty }$ ，故级数发散。
4. 对任意${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$ 大于${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ，故级数发散。
5. 对任意${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}}$ 小于${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ，故需要进一步分析以确定级数敛散性。

### 例2

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}}$
4. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}}$
6. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}}$

### 解答

1. ${\displaystyle n^{-2}}$ 递减的速度比${\displaystyle 2^{-n}}$ 快，但级数不满足${\displaystyle 0\leq z_{n}\leq s_{n}}$ ，因为${\displaystyle n<2}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ 大于${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ 。为此，我们可删掉第一项，得到${\displaystyle 1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle 2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ 。比较${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ 可得 ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ 收敛。
2. 对任意${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}}$ 小于 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ ，故级数收敛。
3. 对任意${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$ 小于${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}}$ 小于等于${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ ，故级数收敛。
4. 级数可改写为${\displaystyle 2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ ，故级数收敛。
5. 对任意${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}}$ 大于${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}}$ ，故需要进一步分析以确定级数敛散性。
6. 级数不满足非负的要求，故需要进一步分析以确定级数敛散性。