微積分學/比較審斂法

比較審斂法

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比較審斂法

若級數  在區間 上滿足 ,則

  1.  發散,則 發散
  2.  收斂,則 收斂

已知級數 發散,判斷下列級數斂散性:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

解答

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  1. 級數可改寫為 ,故級數發散。
  2. 級數可改寫為 ,故級數發散。
  3. 級數可改寫為 ,即  ,故級數發散。
  4. 對任意  大於 ,故級數發散。
  5. 對任意  小於 ,故需要進一步分析以確定級數斂散性。

已知級數 收斂,判斷下列級數斂散性:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

解答

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  1.  遞減的速度比 快,但級數不滿足 ,因為  大於 。為此,我們可刪掉第一項,得到  。比較  可得  收斂。
  2. 對任意  小於  ,故級數收斂。
  3. 對任意  小於 小於等於 ,故級數收斂。
  4. 級數可改寫為 ,故級數收斂。
  5. 對任意  大於 ,故需要進一步分析以確定級數斂散性。
  6. 級數不滿足非負的要求,故需要進一步分析以確定級數斂散性。