微積分學/比較審斂法
< 微积分学
比較審斂法
編輯比較審斂法
若級數 和 在區間 上滿足 ,則
- 若 發散,則 發散
- 若 收斂,則 收斂
例1
編輯已知級數 發散,判斷下列級數斂散性:
解答
編輯- 級數可改寫為 ,故級數發散。
- 級數可改寫為 ,故級數發散。
- 級數可改寫為 ,即 ,故級數發散。
- 對任意 , 大於 ,故級數發散。
- 對任意 , 小於 ,故需要進一步分析以確定級數斂散性。
例2
編輯已知級數 收斂,判斷下列級數斂散性:
解答
編輯- 遞減的速度比 快,但級數不滿足 ,因為 時 大於 。為此,我們可刪掉第一項,得到 和 。比較 和 可得 收斂。
- 對任意 , 小於 ,故級數收斂。
- 對任意 , 小於 小於等於 ,故級數收斂。
- 級數可改寫為 ,故級數收斂。
- 對任意 , 大於 ,故需要進一步分析以確定級數斂散性。
- 級數不滿足非負的要求,故需要進一步分析以確定級數斂散性。