微积分学/比较审敛法
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比较审敛法
编辑比较审敛法
若级数 和 在区间 上满足 ,则
- 若 发散,则 发散
- 若 收敛,则 收敛
例1
编辑已知级数 发散,判断下列级数敛散性:
解答
编辑- 级数可改写为 ,故级数发散。
- 级数可改写为 ,故级数发散。
- 级数可改写为 ,即 ,故级数发散。
- 对任意 , 大于 ,故级数发散。
- 对任意 , 小于 ,故需要进一步分析以确定级数敛散性。
例2
编辑已知级数 收敛,判断下列级数敛散性:
解答
编辑- 递减的速度比 快,但级数不满足 ,因为 时 大于 。为此,我们可删掉第一项,得到 和 。比较 和 可得 收敛。
- 对任意 , 小于 ,故级数收敛。
- 对任意 , 小于 小于等于 ,故级数收敛。
- 级数可改写为 ,故级数收敛。
- 对任意 , 大于 ,故需要进一步分析以确定级数敛散性。
- 级数不满足非负的要求,故需要进一步分析以确定级数敛散性。