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本章节针对前一个单元所教的一元一次方程式,提供一些常见的应用问题。
一元一次方程式的应用问题解题步骤
编辑- 假设未知数。
- 依题意列出一元一次方程式。
- 解一元一次方程式。
- 验算、检查解是否合乎情境。
- 写答,若没有符合情境则回答“无解”。
价钱问题
编辑简易价格问题
编辑
例题 宇蓁到便利商店买 个相同价钱的御饭团和 瓶 元的优酪乳,在没有任何促销优惠下,总共花了 元。请问宇蓁买的御饭团每个几元?
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解
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两物件价格问题
编辑
例题 [注 1] 冰凉饮料店每杯古早味红茶比每杯珍珠奶茶便宜 元。亿贤到冰凉饮料店买了 杯古早味红茶和 杯珍珠奶茶,总共花了 元,请问冰凉饮料店每杯珍珠奶茶多少元?
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解
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分配问题
编辑一般来说,分配问题通常会假设“每人分配数量”为 ,并利用“要分配物的数量”列出一元一次方程式。
例题 佩瑜买了一袋巧克力要请全班吃。如果每人分 颗时会多出 颗,但每人分 颗时则会少 颗,则佩瑜班上有多少人?
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解
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例题 广祈与义伟为一对兄弟,妈妈每周都会给他们总共 元当作零用钱,但是因为义伟上一周比较不听话,所以妈妈在这周分给义伟的钱是广祈的 倍还少 元,则广祈这周的零用钱为多少元?
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解
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速率问题
编辑速率问题的根本为“距离 时间 速率”。底下会一一说明。
例题 彤雯和朋友一起去爬山,她们来回走相同的山路,已知她们上山的速率为每小时 公里,下山的速率为每小时 公里,她们来回一趟总共花了 小时。请问她们爬的山路长度为多少公里?
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解 假设山路长 公里,因为我们知道速率与距离(我们假设的),故我们应该用 表示上下山的时间。
由上山速率为每小时 公里与距离 时间 速率可知上山时间 小时; |
例题 仕杰每天以固定速率骑脚踏车走相同的路程去上课,他需要花 分钟才能到学校,但如果他把时速提升 公里,则他可以提早 分钟到学校。请问仕杰平时固定以每小时多少公里的速度骑脚踏车到学校?
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解 假设仕杰每天以时速 公里上学,因为我们知道仕杰的速率与时间,故我们应该用 表示距离。
因为原本的速率为时速 公里,所以他上学的距离原本是 公里,而增加时速为 公里,所以他上学的距离利用新速率算是 公里。都是相同路程,所以可以列出一元一次方程式 。 |
你注意到了吗?简单来说,速率问题一定会有一个(距离、时间、速率)是知道的,其中一个是你假设的,所以利用这两个关系找出第三个,就能够作速率问题喽!
年龄问题
编辑年龄问题的核心在于年龄问题是共进退的,一个增加几岁,另外一个也会增加几岁;同理,一个减少几岁,另外一个也会减少几岁。另外,两人在每一个年度的年龄差是相等的。
例题 阿姨和冠群今年相差 岁。五年前,阿姨的年龄是冠群的 倍少 岁,则阿姨今年几岁?
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解 假设阿姨五年前 岁,则冠群五年前 岁,
又已知当时阿姨的年龄是冠群的 倍少 岁,故可以列出一元一次方程式 。 |
几何问题
编辑解几何问题有的时候会需要使用一元一次方程式来解题。这类的问题会使用几何图形的基本性质列出等式,之后解出未知数。常见的几何性质有:
- 三角形内角和 度,外角和 度。
- 面积公式。
- 长方形面积公式为长 宽。
- 平行四边形的面积公式为底 高。
- 三角形面积公式为 底 高。
- 梯形面积公式为 上底 下底 高。
- 周长公式。
- 正方形周长公式为边长 。
- 长方形周长公式为 长 宽 。
- 平行四边形周长公式为邻边之和 。
- 正多边形周长公式为边长 边数。
- 圆形周长公式为半径 圆周率 直径 圆周率[注 2]。
例题 有一个梯形,它的面积为 平方公分,其中上底比下底长 公分,高为 公分,则此梯形的上底为多少公分?
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解 假设梯形上底为 公分,下底为 公分,因为已知高与面积,故可以列出一元一次不等式 ,故上底为 公分。
答案: 公分 |
数学魔术
编辑有些数学魔术可以利用一元一次方程式来解题。此类问题会先假设原本的数字为 ,然后依据魔术过程列出等式,再解 求得对方心里想的数。有时也会利用到一元一次式的化简,因为原本的式子只是恒等式,所以必定会获得某一种结果。
例题 平次想要展示魔术给和叶。平次请和叶先想一个大于 的二位数,然后将这个数先乘以 ,然后减去 ,答案再乘以 ,和叶的结果为 ,则和叶心里想的数是多少?
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解 假设和叶想的数是 ,依题意,先乘以 得到 ,然后减去 得到 ,最后再乘以 得到 ,而这个数是 ,所以列出一元一次方程式 。展开得 ,移项得 , ,和叶想的数是 。
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上面这个例题的魔术变法就是只要她的答案前两位数加 就是答案。
习题
请你自己设计一个数学魔术!这个数学魔术至少要让参加者做三个步骤以上。
不合理的解
编辑在解应用问题的时候要注意有的时候答案可能会出现不合理的情况。如爸爸的年纪小于儿子、人数为非正整数、边长为负数等等。这时,我们会称此应用问题没有合理的解。
例题 :不合理的解 若四个连续奇数的和是 ,试求出此四个连续奇数分别是多少?
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解 设最小的奇数为 ,则另外三数分别是 、 与 ,
依题意可以列出一元一次方程式 , |