国中数学/国中数学七年级/3-3 一元一次方程式的应用问题

 3-2 解一元一次方程式 国中数学七年级
3-3 一元一次方程式的应用问题
4-1 二元一次方程式 

本章节针对前一个单元所教的一元一次方程式,提供一些常见的应用问题。

一元一次方程式的应用问题解题步骤

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  1. 假设未知数。
  2. 依题意列出一元一次方程式。
  3. 解一元一次方程式。
  4. 验算、检查解是否合乎情境。
  5. 写答,若没有符合情境则回答“无解”。

价钱问题

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简易价格问题

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例题 
宇蓁到便利商店买 个相同价钱的御饭团和  元的优酪乳,在没有任何促销优惠下,总共花了 元。请问宇蓁买的御饭团每个几元?
步骤
过程与内容
1.假设未知数 宇蓁买的御饭团每个 元。
2.依题意列出一元一次方程式 宇蓁 个御饭团,要花 元,再加上优酪乳 元,宇蓁需要花 元,根据题意,宇蓁实际花了 元,可以列出一元一次方程式 
3.解一元一次方程式。  
4.验算、检查解是否合乎情境。  ,故  的解,而 符合情境,故每个御饭团 元。
5.写答 答:每个御饭团 元。


两物件价格问题

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例题 [注 1]
冰凉饮料店每杯古早味红茶比每杯珍珠奶茶便宜 元。亿贤冰凉饮料店买了 杯古早味红茶和 杯珍珠奶茶,总共花了 元,请问冰凉饮料店每杯珍珠奶茶多少元?
步骤
过程与内容
1.假设未知数 冰凉饮料店每杯珍珠奶茶 元,则每杯古早味红茶 元。
2.依题意列出一元一次方程式  杯古早味红茶,要付 元;

 杯珍珠奶茶,要付 元,总共要花 元,
又实际花了 元,故可以列出一元一次方程式 

3.解一元一次方程式。  
4.验算、检查解是否合乎情境。  ,故  的解,而 符合题意,故每杯珍珠奶茶 元。
5.写答 答:每杯珍珠奶茶 元。


分配问题

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一般来说,分配问题通常会假设“每人分配数量”为 ,并利用“要分配物的数量”列出一元一次方程式。

例题 
佩瑜买了一袋巧克力要请全班吃。如果每人分 颗时会多出 颗,但每人分 颗时则会少 颗,则佩瑜班上有多少人?
步骤
过程与内容
1.假设未知数 佩瑜班上总共有 人。
2.依题意列出一元一次方程式 佩瑜每人分 颗巧克力时,总共需要 颗,再加上剩余的 颗,这袋巧克力总共有 颗;

佩瑜每人分 颗巧克力时,总共需要 颗,但因为不够 颗,所以这袋巧克力只有 颗。
两种算法巧克力的数量应该一样,故可以列出一元一次方程式 

3.解一元一次方程式。  
4.验算、检查解是否合乎情境。   ,故  的解,而 符合题意,故佩瑜班上总共有 人。
5.写答 答:佩瑜班上总共有 人。


例题 
广祈义伟为一对兄弟,妈妈每周都会给他们总共 元当作零用钱,但是因为义伟上一周比较不听话,所以妈妈在这周分给义伟的钱是广祈 倍还少 元,则广祈这周的零用钱为多少元?
步骤
过程与内容
1.假设未知数 广祈 元的零用钱,而义伟的零用钱为广祈 倍还少 元,所以义伟的零用钱有 元。
2.依题意列出一元一次方程式 两人总共有 元,故可以列出一元一次方程式 
3.解一元一次方程式。  
4.验算、检查解是否合乎情境。  ,故  的解,而 符合题意,故广祈的零用钱有 元。
5.写答 答:广祈本周的零用钱有 元。

速率问题

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速率问题的根本为“距离 时间 速率”。底下会一一说明。

例题 
彤雯和朋友一起去爬山,她们来回走相同的山路,已知她们上山的速率为每小时 公里,下山的速率为每小时 公里,她们来回一趟总共花了 小时。请问她们爬的山路长度为多少公里?
假设山路长 公里,因为我们知道速率与距离(我们假设的),故我们应该用 表示上下山的时间。

由上山速率为每小时 公里与距离 时间 速率可知上山时间 小时;
同理,由下山速率为每小时 公里与距离 时间 速率可知下山时间 小时。
而总时间为 小时,所以可以列出一元一次方程式 
 可以同乘 得到 
故山路长 公里。
答案: 公里。


例题 
仕杰每天以固定速率骑脚踏车走相同的路程去上课,他需要花 分钟才能到学校,但如果他把时速提升 公里,则他可以提早 分钟到学校。请问仕杰平时固定以每小时多少公里的速度骑脚踏车到学校?
假设仕杰每天以时速 公里上学,因为我们知道仕杰的速率与时间,故我们应该用 表示距离。

因为原本的速率为时速 公里,所以他上学的距离原本是 公里,而增加时速为 公里,所以他上学的距离利用新速率算是 公里。都是相同路程,所以可以列出一元一次方程式 
 可以同乘 得到 
仕杰每天以时速 公里的速度上学。
答案:时速 公里。


你注意到了吗?简单来说,速率问题一定会有一个(距离、时间、速率)是知道的,其中一个是你假设的,所以利用这两个关系找出第三个,就能够作速率问题喽!

年龄问题

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年龄问题的核心在于年龄问题是共进退的,一个增加几岁,另外一个也会增加几岁;同理,一个减少几岁,另外一个也会减少几岁。另外,两人在每一个年度的年龄差是相等的

例题 
阿姨和冠群今年相差 岁。五年前,阿姨的年龄是冠群 倍少 岁,则阿姨今年几岁?
假设阿姨五年前 岁,则冠群五年前 岁,

又已知当时阿姨的年龄是冠群 倍少 岁,故可以列出一元一次方程式 
 先展开再移项化简可得 
故阿姨今年 岁。
答案:阿姨今年 岁。

几何问题

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解几何问题有的时候会需要使用一元一次方程式来解题。这类的问题会使用几何图形的基本性质列出等式,之后解出未知数。常见的几何性质有:

  • 三角形内角和 度,外角和 度。
  • 面积公式。
    1. 长方形面积公式为长 宽。
    2. 平行四边形的面积公式为底 高。
    3. 三角形面积公式为  高。
    4. 梯形面积公式为 上底 下底 高。
  • 周长公式。
    1. 正方形周长公式为边长 
    2. 长方形周长公式为   
    3. 平行四边形周长公式为邻边之和 
    4. 正多边形周长公式为边长 边数。
    5. 圆形周长公式为半径 圆周率 直径 圆周率[注 2]
例题 
有一个梯形,它的面积为 平方公分,其中上底比下底长 公分,高为 公分,则此梯形的上底为多少公分?
假设梯形上底为 公分,下底为 公分,因为已知高与面积,故可以列出一元一次不等式 ,故上底为 公分。

答案: 公分

数学魔术

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有些数学魔术可以利用一元一次方程式来解题。此类问题会先假设原本的数字为 ,然后依据魔术过程列出等式,再解 求得对方心里想的数。有时也会利用到一元一次式的化简,因为原本的式子只是恒等式,所以必定会获得某一种结果。

例题 
平次想要展示魔术给和叶平次和叶先想一个大于 的二位数,然后将这个数先乘以 ,然后减去 ,答案再乘以 和叶的结果为 ,则和叶心里想的数是多少?
假设和叶想的数是 ,依题意,先乘以 得到 ,然后减去 得到 ,最后再乘以 得到 ,而这个数是 ,所以列出一元一次方程式 。展开得 ,移项得  和叶想的数是 

上面这个例题的魔术变法就是只要她的答案前两位数加 就是答案。

习题
请你自己设计一个数学魔术!这个数学魔术至少要让参加者做三个步骤以上。

不合理的解

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在解应用问题的时候要注意有的时候答案可能会出现不合理的情况。如爸爸的年纪小于儿子、人数为非正整数、边长为负数等等。这时,我们会称此应用问题没有合理的解

例题 :不合理的解
若四个连续奇数的和是 ,试求出此四个连续奇数分别是多少?
设最小的奇数为 ,则另外三数分别是   
注意
任意两个连续奇数都相差 

依题意可以列出一元一次方程式 
化简得 ,但 为奇数,故不合,此题无解。

注解

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  1. 此类问题也可以利用二元一次联立方程式来求解。
  2. 圆周率在国中阶段使用 ,它是一个希腊字母,读作“ㄆㄞ”。