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本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式,提供一些常見的應用問題。
一元一次方程式的應用問題解題步驟
編輯- 假設未知數。
- 依題意列出一元一次方程式。
- 解一元一次方程式。
- 驗算、檢查解是否合乎情境。
- 寫答,若沒有符合情境則回答「無解」。
價錢問題
編輯簡易價格問題
編輯
例題 宇蓁到便利商店買 個相同價錢的御飯糰和 瓶 元的優酪乳,在沒有任何促銷優惠下,總共花了 元。請問宇蓁買的御飯糰每個幾元?
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解
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兩物件價格問題
編輯
例題 [註 1] 冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜 元。億賢到冰涼飲料店買了 杯古早味紅茶和 杯珍珠奶茶,總共花了 元,請問冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元?
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解
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分配問題
編輯一般來說,分配問題通常會假設「每人分配數量」為 ,並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。
例題 珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分 顆時會多出 顆,但每人分 顆時則會少 顆,則珮瑜班上有多少人?
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解
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例題 廣祈與義偉為一對兄弟,媽媽每週都會給他們總共 元當作零用錢,但是因為義偉上一週比較不聽話,所以媽媽在這週分給義偉的錢是廣祈的 倍還少 元,則廣祈這週的零用錢為多少元?
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解
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速率問題
編輯速率問題的根本為「距離 時間 速率」。底下會一一說明。
例題 彤雯和朋友一起去爬山,她們來回走相同的山路,已知她們上山的速率為每小時 公里,下山的速率為每小時 公里,她們來回一趟總共花了 小時。請問她們爬的山路長度為多少公里?
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解 假設山路長 公里,因為我們知道速率與距離(我們假設的),故我們應該用 表示上下山的時間。
由上山速率為每小時 公里與距離 時間 速率可知上山時間 小時; |
例題 仕傑每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課,他需要花 分鐘才能到學校,但如果他把時速提升 公里,則他可以提早 分鐘到學校。請問仕傑平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校?
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解 假設仕傑每天以時速 公里上學,因為我們知道仕傑的速率與時間,故我們應該用 表示距離。
因為原本的速率為時速 公里,所以他上學的距離原本是 公里,而增加時速為 公里,所以他上學的距離利用新速率算是 公里。都是相同路程,所以可以列出一元一次方程式 。 |
你注意到了嗎?簡單來說,速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的,其中一個是你假設的,所以利用這兩個關係找出第三個,就能夠作速率問題嘍!
年齡問題
編輯年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的,一個增加幾歲,另外一個也會增加幾歲;同理,一個減少幾歲,另外一個也會減少幾歲。另外,兩人在每一個年度的年齡差是相等的。
例題 阿姨和冠群今年相差 歲。五年前,阿姨的年齡是冠群的 倍少 歲,則阿姨今年幾歲?
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解 假設阿姨五年前 歲,則冠群五年前 歲,
又已知當時阿姨的年齡是冠群的 倍少 歲,故可以列出一元一次方程式 。 |
幾何問題
編輯解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式,之後解出未知數。常見的幾何性質有:
- 三角形內角和 度,外角和 度。
- 面積公式。
- 長方形面積公式為長 寬。
- 平行四邊形的面積公式為底 高。
- 三角形面積公式為 底 高。
- 梯形面積公式為 上底 下底 高。
- 周長公式。
- 正方形周長公式為邊長 。
- 長方形周長公式為 長 寬 。
- 平行四邊形周長公式為鄰邊之和 。
- 正多邊形周長公式為邊長 邊數。
- 圓形周長公式為半徑 圓周率 直徑 圓周率[註 2]。
例題 有一個梯形,它的面積為 平方公分,其中上底比下底長 公分,高為 公分,則此梯形的上底為多少公分?
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解 假設梯形上底為 公分,下底為 公分,因為已知高與面積,故可以列出一元一次不等式 ,故上底為 公分。
答案: 公分 |
數學魔術
編輯有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為 ,然後依據魔術過程列出等式,再解 求得對方心裏想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡,因為原本的式子只是恆等式,所以必定會獲得某一種結果。
例題 平次想要展示魔術給和葉。平次請和葉先想一個大於 的二位數,然後將這個數先乘以 ,然後減去 ,答案再乘以 ,和葉的結果為 ,則和葉心裏想的數是多少?
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解 假設和葉想的數是 ,依題意,先乘以 得到 ,然後減去 得到 ,最後再乘以 得到 ,而這個數是 ,所以列出一元一次方程式 。展開得 ,移項得 , ,和葉想的數是 。
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上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加 就是答案。
習題
請你自己設計一個數學魔術!這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。
不合理的解
編輯在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時,我們會稱此應用問題沒有合理的解。
例題 :不合理的解 若四個連續奇數的和是 ,試求出此四個連續奇數分別是多少?
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解 設最小的奇數為 ,則另外三數分別是 、 與 ,
依題意可以列出一元一次方程式 , |