綜合數學/實數及其運算/集合的基本運算

集合是數學中一個基本概念,本課主要學習集合。

集合與元素

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一般地,我們把研究對象統稱為元素,把一些元素組成的整體叫做集合,簡稱。通常,我們用大寫字母 表示集合,用小寫字母 表示集合中的元素。如果  是集合  的元素,我們就稱  屬於集合 ,記作 ;反之,則稱  不屬於集合 ,記作 [1]

一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那麼就稱這個集合為全集(通常情況下,也把給定的集合稱為全集),通常記作  

集合的表示

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集合一般有兩種表示法:列舉法描述法

列舉法

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顧名思義,列舉法就是一個一個將集合中的元素列舉出來,再用「 」將元素括起來表示集合,元素與元數之間應用「 」隔開。當元素個數過多時,可在將元素規律表示出來後用「 」省略後續元素。

例1.6.1

用列舉法表示集合 「不大於20的正奇數」, 「大於或等於10的偶數」。
這裏集合 是一個有限集合,元素較少,可以完全列舉;但集合 是一個無窮集合,只能用省略號省去部分元素。

 

描述法

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描述法是表示一個集合最常用的方法。設 為某個與 有關的條件或法則, 為滿足 的全體 構成的集合,則記 

 [2]

相應地,設 為某個與 有關的條件或法則, 為滿足 的全體有序數對 構成的集合,則記 

 
例1.6.2

用描述法表示例1.1.2中的集合。
依題意,用描述法表示集合,則

 

答案不唯一。

集合的分類

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集合有許多種,在數學上可以將集合按元素的個數分為無限集有限集空集,還可以按元素的類別分為數集點集等。

數集和點集

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顧名思義,數集就是數構成的集合,點集就是點構成的集合。我們見的最多的集合就是數集。數學中有一些特殊數集[3]

由有理數和無理數構成的集合叫作實數集,記作 
由整數和分數構成的集合叫作有理數集,記作 
由自然數和負整數構成的集合叫作整數集,記作 
由零和正整數構成的集合叫作自然數集,記作 。有時為了明確自然數集中包括0,我們會將它記作 ;反之,不包含0的自然數集(正整數集)我們記作 
由除了1和它本身以外不再有其他的因數的整數構成的集合叫作質數集(有時稱作質數集),記作 
由形如 的數構成的集合叫作複數集,其中  為虛數單位且 ,記作 

還有一些特殊數集如四元數集( )、八元數集( )和十六元數集( )等現階段不要求掌握,虛數集、無理數集(均用 表示)等有消歧義的一般不使用。

無限集、有限集和空集

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 是正整數的全體,且 ,如果存在一個正整數 ,使得集合  一一對應,那麼我們稱集合A為有限集。同時定義,不含任何元素的集合稱作空集,記作 。空集是特殊的有限集[4],且空集是否是點集或數集是任意的。相反地,有限集之外的集合我們叫作無限集。

例1.6.3

判斷下列集合是什麼集合

(1) 
(2) 
(3) 
(4) 

(1)依題意,集合 「大於等於0、小於等於10的(實)數」,明顯,集合 是無限數集;
(2)由於實數範圍內滿足 的數只有0,且 ,故集合 為有限數集;
(3)明顯,自然數集內沒有小於-3的數,則 ,為空集;
(4)由於集合滿足 的點有無數個,故集合 為一無限點集。

集合的性質

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集合有確定性互異性無序性三個性質。

確定性

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給定一個集合,則哪些元素在這個集合中,哪些元素不在都應是確定的。例如「我們班個子高的學生」就不是一個集合,因為多高才叫「高個子」是不確定的,不滿足集合的確定性;而「我們班身高大於170 cm的學生」是一個集合。或說,任意給定一個元素 ,則它是否屬於集合 是確定的。

互異性

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集合中任意兩個元素都是不同的對象。如 不是一個集合,而 才是一個集合[5]。互異性使集合中的元素是沒有重複,即使兩個相同的對象在同一個集合中,也只能算作這個集合的一個元素。

無序性

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集合中的元素排列是沒有順序的。例如,集合 

以上就是集合的三個性質。

集合間的基本關係和運算

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集合間的基本關係 

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一般地,對於兩個集合 ,如果集合 中的任何一種元素都是集合 的元素,我們則稱集合 是集合 子集,記作

 (或 

讀作「 包含於 」(或「 包含 」)。同時,如果有兩個集合 滿足  ,我們則稱這兩個集合相等,記作

 

若對於兩個集合 ,有

  

我們則稱集合 是集合 真子集,記作[6]

 (或 

讀作「 真包含於 」(或「 真包含 」)。 由上述定義我們可以得到(子集的性質):

1. 空集是任何集合的子集;
2. 任何集合都是它本身的子集,即
 
3. (集合的傳遞性)如果集合
 

 
更一般地,我們有:

 

 
4.  若集合 中有 個元素,則 的子集共有 ,真子集有 個。

集合的相等和真子集均滿足上述性質。證明略。

例1.6.4

列舉出集合

 

的全部子集。
集合 的全部子集有:

 

集合的相關運算

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一般地,由集合 與集合 的所有元素構成的集合,稱為 併集,記為

 

可表示為

 

又有,由集合 與集合 的所有公共元素構成的集合,稱為 交集,記為

 

可表示為

 
例1.6.5

若集合

 

 
由題,有

 

對於由所有屬於集合 但不屬於集合 的元素,我們稱為集合 相對於 相對補集,記作

 [7]

可表示為

 

特殊地,集合 相對於全集 的補集叫作絕對補集,記作

 [8]

可表示為

 

由所有屬於 但不屬於 的元素所構成的集合叫作集合 對稱差,記作

 

可表示為

 

關於集合運算有以下常用結論:

(1)等冪律
 
(2)同一律
 
(3)互補律
 
(4)交換律
 
(5)結合律
 
(6)分配率
 
(7)吸收率
 
(8)反演律
 

利用相關定義即可證明,略。上述運算定律在以後會有很大幫助。

容斥原理

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若記有限集合 中的元素個數為 [9],則由Venn圖(下圖)可知:

1. 
2. 

一般地,對於 個有限集合 ,則有

 

我們稱上述公式為容斥定理
該原理可以用數學歸納法證明。
 時,結論顯然成立。
假設命題對 成立,需證明命題對 也成立。
注意到 ,由 的情形可知:

 

由歸納假設,對於 個集合 ,有

 

又由歸納假設,對於 個集合 ,有

 

把上兩式代入一式,即得容斥原理。 

Venn圖

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在2.3中提到的Venn圖是用於顯示元素集合重疊區域的圖示,也稱維恩圖、文氏圖。在集合論中,常常用Venn圖來表示集合間的關係或運算。
同樣的,我們之前學過的集合的關係和運算也可以用Venn圖表示如下:

區間與鄰域

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集合論中常用的實數集合為區間與鄰域。
  ,我們定義:

(1)閉區間 
(2)開區間 
(3)半開區間
(3.1)左開區間: 
(3.2)右開區間: 
(4)無窮區間
(4.1)  
(4.2)  
(4.3)  
(4.4)  
(4.5)   

通常,我們將上述四類區間統稱為區間。其中(1)-(3)我們稱為有限區間 分別稱為區間的左端點、右端點。
 為某個正數,則稱開區間 為點  鄰域;稱 為鄰域的中心, 為鄰域的半徑。
 的鄰域去掉中心 後的集合

 

稱為點 空心鄰域去心鄰域;稱開區間 為點 左鄰域 為點 右鄰域
 的鄰域可表示為不等式

 

 的空心鄰域可表示為不等式

 

註釋

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  1. 有時也將 記作 
  2. 當描述法式子中未指明數的性質時,默認為實數。
  3. 有時可以用粗體字母表示特殊數集的符號。
  4. 由於空集不符合有限集定義,故有時不將它看作有限集。
  5. 有時也將含有幾個相同的元素的集合視為集合,並將幾個相同元素視為一個元素。
  6. 有時也將「 」寫作「 」,多見於我國(指中華人民共和國)中學教材。
  7.  
  8.   
  9. 有時也記為