综合数学/实数及其运算/集合的基本运算

集合是数学中一个基本概念，本课主要学习集合。

集合与元素

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合，简称集。通常，我们用大写字母$A,B,C\cdots$表示集合，用小写字母$a,b,c\cdots$表示集合中的元素。如果$a$ 是集合$A$ 的元素，我们就称$a$ 属于集合$A$，记作$a\in A$；反之，则称$a$ 不属于集合$A$，记作$a\not \in A$。

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作$U$或$I$。

集合的表示

集合一般有两种表示法：列举法和描述法。

列举法

顾名思义，列举法就是一个一个将集合中的元素列举出来，再用“$\{\}$”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“$,$”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“$\cdots$”省略后续元素。

例1.6.1

用列举法表示集合$A=$“不大于20的正奇数”，$B=$“大于或等于10的偶数”。
解 这里集合$A$是一个有限集合，元素较少，可以完全列举；但集合$B$是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。
故

${\begin{alignedat}{2}&A=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\},\\&B=\{10,12,14,16,\cdots \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

描述法

描述法是表示一个集合最常用的方法。设$P(x)$为某个与$x$有关的条件或法则，$X$为满足$P(x)$的全体$x$构成的集合，则记$X$为

$X=\{x|P(x)\}$。

相应地，设$P(x,y)$为某个与$x,y$有关的条件或法则，$A$为满足$P(x,y)$的全体有序数对$(x,y)$构成的集合，则记$A$为

$A=\{(x,y)|P(x,y)\}$。

例1.6.2

用描述法表示例1.1.2中的集合。
解 依题意，用描述法表示集合，则

${\begin{alignedat}{2}&A=\{x|x=2n+1,0\leq n\leq 9,n\in \mathbb {Z} \},\\&B=\{x|x=2n,n\geq 5,n\in \mathbb {Z} \}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

答案不唯一。

集合的分类

集合有许多种，在数学上可以将集合按元素的个数分为无限集、有限集和空集，还可以按元素的类别分为数集和点集等。

数集和点集

顾名思义，数集就是数构成的集合，点集就是点构成的集合。我们见的最多的集合就是数集。数学中有一些特殊数集：

由有理数和无理数构成的集合叫作实数集，记作$\mathbb {R}$；

由整数和分数构成的集合叫作有理数集，记作$\mathbb {Q}$；

由自然数和负整数构成的集合叫作整数集，记作$\mathbb {Z}$；

由零和正整数构成的集合叫作自然数集，记作$\mathbb {N}$。有时为了明确自然数集中包括0，我们会将它记作$\mathbb {N} _{0}$；反之，不包含0的自然数集（正整数集）我们记作$\mathbb {N} ^{*}$；

由除了1和它本身以外不再有其他的因数的整数构成的集合叫作质数集（有时称作素数集），记作$\mathbb {P}$；

由形如$a+b\mathrm {i}$的数构成的集合叫作复数集，其中$a,b\in \mathbb {R}$，$\mathrm {i}$为虚数单位且$\mathrm {i} ^{2}=-1$，记作$\mathbb {C}$；

还有一些特殊数集如四元数集（$\mathbb {H}$）、八元数集（$\mathbb {O}$）和十六元数集（$\mathbb {S}$）等现阶段不要求掌握，虚数集、无理数集（均用$\mathbb {I}$表示）等有消歧义的一般不使用。

无限集、有限集和空集

令$\mathbb {N} ^{*}$是正整数的全体，且$N_{n}=\{1,2,3,\cdots ,n\}$,如果存在一个正整数$n$，使得集合$A$与$N_{n}$一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作$\varnothing$。空集是特殊的有限集，且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。

例1.6.3

判断下列集合是什么集合

(1)$A=\left\{x|0\leqslant x\leq 10\right\}$；

(2)$B=\left\{x|x\in \mathbb {Z} ,x^{2}\leqslant 0\right\}$；

(3)$C=\left\{x|x\in \mathbb {N} ,x<-3\right\}$；

(4)$D=\left\{\left(x,y\right)|x\geqslant y\right\}$；

解 (1)依题意，集合$A=$“大于等于0、小于等于10的（实）数”，明显，集合$A$是无限数集；
(2)由于实数范围内满足$x^{2}\leq 0$的数只有0，且$0\in \mathbb {Z}$，故集合$B=\left\{0\right\}$为有限数集；
(3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则$C=\varnothing$，为空集；
(4)由于集合满足$x\geqslant y$的点有无数个，故集合$D$为一无限点集。

集合的性质

集合有确定性、互异性和无序性三个性质。

确定性

给定一个集合，则哪些元素在这个集合中，哪些元素不在都应是确定的。例如“我们班个子高的学生”就不是一个集合，因为多高才叫“高个子”是不确定的，不满足集合的确定性；而“我们班身高大于170 cm的学生”是一个集合。或说，任意给定一个元素$a$，则它是否属于集合$A$是确定的。

互异性

集合中任意两个元素都是不同的对象。如$\{1,1,2\}$不是一个集合，而$\{1,2\}$才是一个集合。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。

无序性

集合中的元素排列是没有顺序的。例如，集合$\{1,3,2\}=\{1,2,3\}$。

以上就是集合的三个性质。

集合间的基本关系和运算

集合间的基本关系 

一般地，对于两个集合$A,B$，如果集合$A$中的任何一种元素都是集合$B$的元素，我们则称集合$A$是集合$B$的子集，记作

$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$）

读作“$A$包含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。同时，如果有两个集合$A,B$满足$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，我们则称这两个集合相等，记作

$A=B$。

若对于两个集合$A,B$，有

$A\subseteq B$但$A\neq B$

我们则称集合$A$是集合$B$的真子集，记作

$A\subset B$（或$B\supset A$）

读作“$A$真包含于$B$”（或“$B$真包含$A$”）。 由上述定义我们可以得到（子集的性质）：

1. 空集是任何集合的子集；

2. 任何集合都是它本身的子集，即

$A\subseteq A$；

3. （集合的传递性）如果集合

$A\subseteq B,B\subseteq C$，

则

$A\subseteq C$；

更一般地，我们有：

若

$A_{1}\subseteq A_{2},A_{2}\subseteq A_{3},\cdots ,A_{n-1}\subseteq A_{n},$

则

$A_{1}\subseteq A_{n}$；

4.  若集合$A$中有$n$个元素，则$A$的子集共有$2^{n}$，真子集有$2^{n-1}$个。

集合的相等和真子集均满足上述性质。证明略。

例1.6.4

列举出集合

$A=\{1,2,3\}$

的全部子集。
解 集合$A$的全部子集有：

$\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}$

集合的相关运算

一般地，由集合$A$与集合$B$的所有元素构成的集合，称为$A,B$的并集，记为

$A\cup B$，

可表示为

$A\cup B=\left\{x|x\in A\vee x\in B\right\}$。

又有，由集合$A$与集合$B$的所有公共元素构成的集合，称为$A,B$的交集，记为

$A\cap B$，

可表示为

$A\cap B=\left\{x|x\in A\wedge x\in B\right\}$。

例1.6.5

若集合

$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$，

求$A\cap \left(A\cup B\right)$
解 由题，有

${\begin{alignedat}{3}A\cap \left(A\cup B\right)&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left(\left\{1,2,3\right\}\cup \left\{2,3,4\right\}\right)\\&=\left\{1,2,3\right\}\cap \left\{1,2,3,4\right\}\\&=\left\{1,2,3\right\}{\mbox{。 }}\end{alignedat}}$

对于由所有属于集合$B$但不属于集合$A$的元素，我们称为集合$A$相对于$B$的相对补集，记作

$B-A$，

可表示为

$B-A=\left\{x|x\in B\wedge x\not \in A\right\}$。

特殊地，集合$A$相对于全集$U$的补集叫作绝对补集，记作

${\overline {A}}$，

可表示为

${\overline {A}}=\{x|x\not \in A\}$。

由所有属于$A\cup B$但不属于$A\cap B$的元素所构成的集合叫作集合$A,B$的对称差，记作

$A\Delta B$，

可表示为

$A\Delta B=\{x|x\in A\cup B\wedge x\not \in A\cap B\}$。

关于集合运算有以下常用结论：

(1)等幂律：

$A\cap A=A,A\cup A=A$；

(2)同一律：

$A\cap I=A,A\cup I=I,A\cap \varnothing =\varnothing ,A\cup \varnothing =A$；

(3)互补律：

$A\cap {\overline {A}}=\varnothing ,A\cup {\overline {A}}=I,{\overline {\overline {A}}}=A,{\overline {I}}=\varnothing ,{\overline {\varnothing }}=I$；

(4)交换律：

$A\cap B=B\cap A,A\cup B=B\cup A$；

(5)结合律：

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$；

(6)分配率：

$A\cap \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}\left(A\cap A_{i}\right),A\cup \left(\bigcap _{i}A_{i}\right)=\bigcap _{i}\left(A\cap A_{i}\right)$；

(7)吸收率：

$A\cup (A\cap B)=A,A\cap (A\cup B)=A$；

(8)反演律：

${\overline {\bigcap _{i}A_{i}}}=\bigcap _{i}{\overline {A_{i}}},{\overline {\bigcup _{i}A_{i}}}=\bigcup _{i}{\overline {A_{i}}}$。

利用相关定义即可证明，略。上述运算定律在以后会有很大帮助。

容斥原理

若记有限集合$A$中的元素个数为$|A|$，则由Venn图（下图）可知：

1.$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$；

2.$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$。

• 
  A∪B
• 
  A∪B∪C

一般地，对于$n$个有限集合$A_{1},A_{2}\cdots ,A_{n}$，则有

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}\right|=\sum _{k=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right|\right)\right)$。

我们称上述公式为容斥定理。
证 该原理可以用数学归纳法证明。
当$n=2$时，结论显然成立。
假设命题对$n-1$成立，需证明命题对$n$也成立。
注意到$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_{n}$，由$n=2$的情形可知：

${\begin{alignedat}{2}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cap A_{n}\right|\\&=\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|+\left|A_{n}\right|-\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|{\mbox{， }}\end{alignedat}}$

由归纳假设，对于$n-1$个集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1$，有

${\begin{alignedat}{2}\left|\bigcap _{i=1}^{n}\left(A_{i}\cap A_{n}\right)\right|&=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}\left(A_{i_{j}}\cap A_{n}\right)\right|\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)\cap A_{n}\right|\right)\right){\mbox{， }}\end{alignedat}}$

又由归纳假设，对于$n-1$个集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}-1$，有

$\left|\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(-1\right)^{k-1}\left(\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left|\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right|\right)\right)$，

把上两式代入一式，即得容斥原理。$\blacksquare$

Venn图

在2.3中提到的Venn图是用于显示元素集合重叠区域的图示，也称维恩图、文氏图。在集合论中，常常用Venn图来表示集合间的关系或运算。
同样的，我们之前学过的集合的关系和运算也可以用Venn图表示如下：

• 
  U
• 
  A^C∪B^C
• 
  A∪C
• 
  A∪B^C
• 
  A Δ B
• 
  A^C∪B
• 
  B^C
• 
  A
• 
  A^C
• 
  B
• 
  A∩B^C
• 
  (A Δ B)^C
• 
  A^C∩B
• 
  A^C∩B^C
• 
  A∩B
• 
  ∅

区间与邻域

集合论中常用的实数集合为区间与邻域。
设$a,b\in \mathbb {R}$且$a<b$，我们定义：

(1)闭区间：$[\,a,b\,]=\{x|a\leqslant x\leqslant b\}$；

(2)开区间：$(a,b)=\{x|a<x<b\}$；

(3)半开区间：

(3.1)左开区间：$(a,b\,]=\{x|a<x\leqslant b\}$；

(3.2)右开区间：$[\,a,b)=\{x|a\leqslant x<b\}$；

(4)无穷区间：

(4.1) $(-\infty ,b\,]=\{x|x\leqslant b\}$；

(4.2) $(-\infty ,b)=\{x|x<b\}$；

(4.3) $[\,a,+\infty )=\{x|x\geqslant a\}$；

(4.4) $(a,+\infty )=\{x|x>a\}$；

(4.5)  $(+\infty ,-\infty )=\mathbb {R}$。

通常，我们将上述四类区间统称为区间。其中(1)-(3)我们称为有限区间，$a,b$分别称为区间的左端点、右端点。
设$\varepsilon$为某个正数，则称开区间$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )$为点$x_{0}$的$\varepsilon$邻域；称$x_{0}$为邻域的中心，$\varepsilon$为邻域的半径。
点$x_{0}$的邻域去掉中心$x_{0}$后的集合

$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\varepsilon )$

称为点$x_{0}$的空心邻域或去心邻域；称开区间$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})$为点$x_{0}$的左邻域，$(x_{0},x_{0}+\varepsilon )$为点$x_{0}$的右邻域。
点$x_{0}$的邻域可表示为不等式

$|x-x_{0}|<\varepsilon$；

点$x_{0}$的空心邻域可表示为不等式

$0<|x-x_{0}|<\varepsilon$。