算術
以下習題另有解答,但強烈建議先練習習題,才看解答校正錯誤,而不是先偷看解答。
普通算術
編輯數的概念
編輯- O → 1個O
- OO → 2個O
- OOO → 3個O
- OOOO → 4個O
- OOOOO → 5個O
- OOOOOO → 6個O
- OOOOOOO → 7個O
- OOOOOOOO → 8個O
- OOOOOOOOO → 9個O
- OOOOOOOOOO → 10個O
- 以下的圖形共有幾個O?
- OOOOO → ?個O
- OOO → ?個O
- OOOOOOOO → ?個O
- O → ?個O
- OOOOOO → ?個O
- 試畫出指定個數的O:
- 4個O
- 2個O
- 7個O
- 10個O
- 9個O
數的大小關係
編輯哪邊的O比較多?
1. OOOOOOOO、OOOOO
2. OOOO、OOOOOOOOO
3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO
4. OOOOO、OOOOOO
假設有兩個數字,若該數字代表的O比較多,則該數字比較大。
大於、小於符號分別以「 」、「 」表示,開口一邊的數字比較大,若 則稱A小於B,若 則稱A大於B。
例子:
→ → 4大於1
→ → 2小於5
→ → 6大於4
→ → 7小於8
加法
編輯加法的符號是「 」,讀作「加號」,加號前的數稱為「被加數」,加號後的數是「加數」,等號後面的答案稱為「和」,如下例題:
1是被加數,它被「加上」某個特定的數值1,也就是加數,得到和2。
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
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- ?
- ?
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- ?
- ?
- ?
減法
編輯減法的符號是「 」,讀作「減號」,減號前的數稱為「被減數」,減號後的數是「減數」,等號後面的答案稱為「差」,如例題:
36是被減數,從這個數中被「減掉」11;導致別的數的數值減少的數就是減數(此例中的11)。36被11減,得到差25。
如果被減數小於減數,就會出現負數。如:
減法也是加法的逆算,若將減數加上差可得被減數,就拿上面的例子來說明:
,其中36是被減數,11是減數,25是差。
將減數11加給25,即 得到原來的被減數。
另外以下是退位減法的計算方式:
例如:238-74=?
我們可列豎式計算:
先計算個位數的部份:8-4=4
所以個位數先寫上4。
十位數不夠減,可以向百位數拿個1過來,變成13-7,運用口訣-7=-10+3,13-10+3=6,所以十位數先寫上6。
因為我們已經從百位數的2拿1走了,所以百位數剩下1。
所以得到的解:238-74=164
- ?
- ?
- ?
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- ?
- ?
- ?
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- ?
乘法
編輯乘法的符號是「 」或「 」,在電腦上常以「 」表示,讀作「乘號」,乘號前的數稱為「被乘數」,乘號後的數是「乘數」,等號後面的答案稱為「積」,如例題: 。若乘數及被乘數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外,也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號,如例題: 。
附錄的#乘法表,被乘數是1時,不必背誦。背誦其他九九乘法的積時,由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。
乘法的法則:
- 交換律:
- 結合律:
- 分配律:
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
除法
編輯除法的符號是「 」,或以分線表示,在電腦上常以「 」表示,它們均讀作「除號」,除號前的數稱為「被除數」,除號後的數是「除數」,等號後面的答案稱為「商」,如例題: 。若除數及被除數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外,部分數被除後可能出現循環小數或無限小數,那麼便需要轉化成分數來表示(有關小數和分數的資料,將會在下章介紹)。
另外,除的意義為「將一份平均地分為多份」,因此所有數除以零是無效(meaningless)的。
除法可以解讀成「重複的減法」。
例如 : ,就好像 , , 被 減了兩次就變成
= ?
,因值已經低於0了,不能採用!
被 連減了3次, 就是餘數。所以 = 3餘3
除法的法則:
- ( ≠ )
- = ∞,無窮大
- = 不定值
- = 負無限
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
乘方
編輯等同於 自乘 次,即 。
開方
編輯開方是乘方的逆運算。
四則運算
編輯所謂四則運算,是指數與數之間的加、減、乘、除這四種基本運算。括號 之內的部份要先計算,然後四則運算要先乘除後加減。
例題:
上題為:
在此步看見 與 可以把他們相約 改寫為 也稱跳步
- ?
- ?
- ?
- ?
- ?
小數與分數
編輯- 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點,稱為「小數點」。例:3.5 ,4.5 ,8.45.
- 分數類似小數,表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母,代表共有多少份。上面是分子,也就是佔多少份。例:5/3
請分辨出分數和小數.
- 3.5
- 2/5
- 6.7
- 5/3
- 10/13
- 4.7
百分率
編輯百分率亦類似小數,表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多,有計算機率、表示數量等,例:35%, 48%.
注意:"%"的意思是百分之一,並不是除以100。
附錄一:速算技巧
編輯自古以來,人們總結了很多速算技巧。利用這些技巧,在很多情況下,能夠極大地提高人們的計算速度。
減法速算
編輯- 兩數交叉型減法速解法:
- 例如: (由6和3所組成的算式,6用3去減,再乘以9)。
- 10的n次方減某數:
- ,速算法為將 視為 ,並分拆各數位( ),然後各數位相減( ),得出最終結果( )。
乘法速算
編輯- 乘以5的數:
- 數字乘以5: ,速算法為將36乘以10( ),再將結果除以2( )。
- 乘以11的數:
- 兩位數乘以11: ,速算法為將6、3兩數之和( ),插入36的中間,(如和超過10則進位),即 。
- 三位數乘以11: ,速算法為將 、 插入5、6的中間,即 。
- 四位數乘以11: ,速算法為將 拆成 ,再用 去乘它們,又 , ,故 。
- ,速算法為將 拆成 ,再用 去乘它們,又 , ,故 。
- 乘以111的數:
- 兩位數乘以111: ,速算法為將6、3兩數之和 ,加兩次,插入36的中間,(如和超過10則進位),即 。
- 三位數乘以111: ,速算法為將 拆成 ,再用 去乘它們,又 , ,故 。
- 兩位數乘以121: ,速算法為將 拆為 。
格子乘法
編輯第一步:畫帶斜線的格子,將第一數(58)寫在格子頂部,第二數(213)書寫着格子的右側如圖,格子斜線下方寫下乘積的個位數,格子斜線之上寫入乘積的十位數。
第二步:將每個格子頂上數字與同一格子右邊的數字相乘,將乘積逐個寫入格子內,然後自下而上按斜線將數字相加,將所得的和寫在格子圖之下或左邊:
- ,將4寫在斜線對齊的格子圖下邊。
- ,將和的個位數「5」寫在斜線對齊的格子下邊,十位數進位到下一位斜線中如圖
- ,將和的個位數寫在斜線對齊的格子邊上(左邊),將十位數進位。
- ,記入格子左邊
第三步:從格子左邊自上而下,接格子下邊自左至右,讀出乘積:12354
所以
除法速算
編輯- 除以5的數:
- 數字除以5: ,速算法為將36除以10( ),再將結果乘以2( )。
- 除以11的數:
- 數字除以11: ,速算法為從左側依序刪除數字,並記錄刪除的數字,然後再在下一個數位減去刪除的數字。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。 。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。 。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。 。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。 。
- 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字: 。
- 下方為遇到特殊情況時的處理方式: 。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。
- 但 的結果為負數:此時將將原先記錄的數字減1,改記錄 ;然後將減數的首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得 。
- 但此時結果的前兩位數字為 ,無法進行下一步行動,否則會陷入無窮迴圈。此時應該將 視為一個獨立的數位整體,然後執行下一步行動。
- 從左側刪除(技術上的)一位數字之後為 ,記錄 。 的結果為負數。
- 此時將原先記錄的數字減1,改記錄 。然後將減數的(技術上的)首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得 。
- 從左側刪除一位數字之後為 ,記錄 。 。
- 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字: 。
除以7
編輯7是很特殊的數字,而求除以7的小數值往往令人頭疼。其實除以7的計算中蘊藏着非常簡單的規律。請看:
看出規律沒有? ,後面的數剛好是前面的兩倍, ,而 剛好進一位就成57,後面 , , , , 正好都是這串數中的一段,只是起始位置不同而已。只要記住142857這串數,就可以很易算出所有除以7的值。
高中化學有條定理,這規律非常有用:1摩任何氣體的體積都接近22.4升。而 , ,在計算中,3.2這因子很易約去,而知道除以7的規律,這種計算往往就變得很快。
乘方速算
編輯- 10至19的乘方:
- 20至99的乘方:
- 同前式,但須將20至99之間的數取近似值至十位,並將原式中的10替換成此數。
公式
編輯公式可以將繁複的計算變易。
特殊公式
編輯解答:
附錄二:各種表格
編輯加法表
編輯+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
乘法表
編輯× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 1 | ||||||||
2 | 2 | 4 | |||||||
3 | 3 | 6 | 9 | ||||||
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | |||||
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | ||
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
乘方表
編輯^ | 2 | 3 |
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 8 |
3 | 9 | 27 |
4 | 16 | 64 |
5 | 25 | 125 |
6 | 36 | 216 |
7 | 49 | 343 |
8 | 64 | 512 |
9 | 81 | 729 |
對數表
編輯常用對數表
編輯log | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
10 | 0000 | 0043 | 0086 | 0128 | 0170 | 0212 | 0253 | 0294 | 0334 | 0374 |
11 | 0414 | 0453 | 0492 | 0531 | 0569 | 0607 | 0645 | 0682 | 0719 | 0755 |
12 | 0792 | 0828 | 0864 | 0899 | 0934 | 0969 | 1004 | 1038 | 1072 | 1106 |
13 | 1139 | 1173 | 1206 | 1239 | 1271 | 1303 | 1335 | 1367 | 1399 | 1430 |
14 | 1461 | 1492 | 1523 | 1553 | 1584 | 1614 | 1644 | 1673 | 1703 | 1732 |
15 | 1761 | 1790 | 1818 | 1847 | 1875 | 1903 | 1931 | 1959 | 1987 | 2014 |
16 | 2041 | 2068 | 2095 | 2122 | 2148 | 2175 | 2201 | 2227 | 2253 | 2279 |
17 | 2304 | 2330 | 2355 | 2380 | 2405 | 2430 | 2455 | 2480 | 2504 | 2529 |
18 | 2553 | 2577 | 2601 | 2625 | 2648 | 2672 | 2695 | 2718 | 2742 | 2765 |
19 | 2788 | 2810 | 2833 | 2856 | 2878 | 2900 | 2923 | 2945 | 2967 | 2989 |
20 | 3010 | 3032 | 3054 | 3075 | 3096 | 3118 | 3139 | 3160 | 3181 | 3201 |
21 | 3222 | 3243 | 3263 | 3284 | 3304 | 3324 | 3345 | 3365 | 3385 | 3404 |
22 | 3424 | 3444 | 3464 | 3483 | 3502 | 3522 | 3541 | 3560 | 3579 | 3598 |
23 | 3617 | 3636 | 3655 | 3674 | 3692 | 3711 | 3729 | 3747 | 3766 | 3784 |
24 | 3802 | 3820 | 3838 | 3856 | 3874 | 3892 | 3909 | 3927 | 3945 | 3962 |
25 | 3979 | 3997 | 4014 | 4031 | 4048 | 4065 | 4082 | 4099 | 4116 | 4133 |
26 | 4150 | 4166 | 4183 | 4200 | 4216 | 4232 | 4249 | 4265 | 4281 | 4298 |
27 | 4314 | 4330 | 4346 | 4362 | 4378 | 4393 | 4409 | 4425 | 4440 | 4456 |
28 | 4472 | 4487 | 4502 | 4518 | 4533 | 4548 | 4561 | 4579 | 4594 | 4609 |
29 | 4624 | 4639 | 4654 | 4669 | 4683 | 4698 | 4713 | 4728 | 4742 | 4757 |
30 | 4771 | 4786 | 4800 | 4814 | 4829 | 4843 | 4857 | 4871 | 4886 | 4900 |
自然對數表
編輯1 | 0 |
2 | 0.693147180559945 |
3 | 1.09861228866811 |
4 | 1.386294361119891 |
5 | 1.6094379124341 |
6 | 1.791759469228055 |
7 | 1.945910149055313 |
8 | 2.079441541679836 |
9 | 2.19722457733622 |
10 | 2.302585092994046 |
11 | 2.397895272798371 |
12 | 2.484906649788 |
13 | 2.564949357461537 |
14 | 2.639057329615258 |
15 | 2.70805020110221 |