# 算术/开方

## 求方根公式

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$ =${\displaystyle X_{n}+(A/X_{n}^{k}-X_{n})1/k}$

### 开立方公式

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}^{2}-X_{n})1/3}$

例如，A=5，k=3,即求：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}}$

5介于${\displaystyle 1^{3}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$ 之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值${\displaystyle X_{0}}$ 可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取${\displaystyle X_{0}=2.}$ 按照公式：

第一步：${\displaystyle X_{1}=2+(5/2^{2}-2)1/3}$ =1.75。输入值大于输出值，负反馈；

第二步：${\displaystyle X_{2}=1.7+(5/1.7^{2}-1.7)1/3}$ =1.71.输入值小于输出值，正反馈。

第三步：${\displaystyle X_{3}=1.71+(5/1.71^{2}-1.71)1/3}$ =1.709.

第四步：${\displaystyle X_{4}=1.709+(5/1.709^{2}-1.709)1/3}$ =1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

当然初始值${\displaystyle X_{0}}$ 也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是${\displaystyle X_{1}=1.7>}$ 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。${\displaystyle X_{1}=1.5+(5/1.5^{2}-1.5)1/3}$ =1.7。

### 开平方公式

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.}$

5介於${\displaystyle 2^{2}}$ ${\displaystyle 3^{2}}$ 之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取