算術/開方

開方是乘方的逆運算，是第6種算法，現在一般都是藉助計算機計算。以前是利用牛頓二項式定理開方，現在有開平方公式和開立方公式。 參考文獻：【數學傳播】136期，從牛頓二項式定理開方到牛頓切線法

求方根公式

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$=$X_{n}+(A/X_{n}^{k}-X_{n})1/k$

開立方公式

　$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}^{2}-X_{n})1/3$，

　　例如，A=5，k=3,即求：${\sqrt[{3}]{5}}$

　　　5介於$1^{3}$至$2^{3}$之間（1的3次方=1，2的3次方=8）

　　初始值$X_{0}$可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取$X_{0}=2.$按照公式：

　　第一步：$X_{1}=2+(5/2^{2}-2)1/3$=1.75。輸入值大於輸出值，負反饋；

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位數值,即1.7。

　　第二步：$X_{2}=1.7+(5/1.7^{2}-1.7)1/3$=1.71.輸入值小於輸出值，正反饋。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。

　　第三步：$X_{3}=1.71+(5/1.71^{2}-1.71)1/3$=1.709.

　　第四步：$X_{4}=1.709+(5/1.709^{2}-1.709)1/3$=1.7099

　　這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值

偏小，輸出值自動轉大。即$5=1.7099^{3}$.

　　當然初始值$X_{0}$也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個,都是$X_{1}=1.7>$。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。$X_{1}=1.5+(5/1.5^{2}-1.5)1/3$=1.7。

開平方公式

如果用這個公式開平方，只需將$X^{2}$改成$X^{1}$，1/3改成1/2。即

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.$

例如，A=5：

5介於$2^{2}$至$3^{2}$之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取

中間值2.5。

第一步：$X_{1}=2.5+(5/2.5-2.5)1/2$=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：$X_{2}=2.2+(5/2.2-2.2)1/2$=2.23； 即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步：$X_{3}=2.23+(5/2.23-2.23)1/2$=2.236；

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

這個方法的依據是根據牛頓切線法得來。也可以通過牛頓二項式定理推出。