算术

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算术

以下习题另有解答，但强烈建议先练习习题，才看解答校正错误，而不是先偷看解答。

普通算术

数的概念

• O → 1个O
• OO → 2个O
• OOO → 3个O
• OOOO → 4个O
• OOOOO → 5个O
• OOOOOO → 6个O
• OOOOOOO → 7个O
• OOOOOOOO → 8个O
• OOOOOOOOO → 9个O
• OOOOOOOOOO → 10个O

习题：

1. 以下的图形共有几个O？
   1. OOOOO → ？个O
   2. OOO → ？个O
   3. OOOOOOOO → ？个O
   4. O → ？个O
   5. OOOOOO → ？个O
2. 试画出指定个数的O：
   1. 4个O
   2. 2个O
   3. 7个O
   4. 10个O
   5. 9个O

数的大小关系

哪边的O比较多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假设有两个数字，若该数字代表的O比较多，则该数字比较大。

大于、小于符号分别以“$>$”、“$<$”表示，开口一边的数字比较大，若$A<B$则称A小于B，若$A>B$则称A大于B。

例子：

$OOOO>O$ → $4>1$ → 4大于1

$OO<OOOOO$ → $2<5$ → 2小于5

$OOOOOO>OOOO$ → $6>4$ → 6大于4

$OOOOOOO<OOOOOOOO$ → $7<8$ → 7小于8

加法

加法的符号是“$+$”，读作“加号”，加号前的数称为“被加数”，加号后的数是“加数”，等号后面的答案称为“和”，如下例题：

$1+1=2$

${\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}$

1是被加数，它被“加上”某个特定的数值1，也就是加数，得到和2。

习题：

1. $1+4=$?
2. $2+3=$?
3. $3+1=$?
4. $5+4=$?
5. $9+0=$?
6. $31+5=$?
7. $5+36=$?
8. $36+11=$?
9. $54+45=$?
10. $14+12=$?
11. $54+32=$?
12. $79+12=$?
13. $46+14=$?
14. $325+249=$?
15. $268+526=$?
16. $729+164=$?
17. $567+420=$?

减法

减法的符号是“$-$”，读作“减号”，减号前的数称为“被减数”，减号后的数是“减数”，等号后面的答案称为“差”，如例题：$36-11=25$

36是被减数，从这个数中被“减掉”11；导致别的数的数值减少的数就是减数（此例中的11）。36被11减，得到差25。

如果被减数小于减数，就会出现负数。如： $36-111=-75$

减法也是加法的逆算，若将减数加上差可得被减数，就拿上面的例子来说明：

$36-11=25$，其中36是被减数，11是减数，25是差。

${\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}$

将减数11加给25，即$25+11=36$得到原来的被减数。

另外以下是退位减法的计算方式：

例如：238－74＝？

我们可列竖式计算：

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{}\end{aligned}}$

先计算个位数的部份：8－4＝4

所以个位数先写上4。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{4}\end{aligned}}$

十位数不够减，可以向百位数拿个1过来，变成13－7，运用口诀－7＝－10＋3，13－10＋3＝6，所以十位数先写上6。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{64}\end{aligned}}$

因为我们已经从百位数的2拿1走了，所以百位数剩下1。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{164}\end{aligned}}$

所以得到的解：238－74＝164

习题：

1. $8-2=$?
2. $9-5=$?
3. $4-2=$?
4. $6-2=$?
5. $36-5=$?
6. $59-13=$?
7. $73-45=$?
8. $92-72=$?
9. $48-38=$?
10. $509-372=$?
11. $666-111=$?
12. $869-107=$?
13. $678-181=$?
14. $489-226=$?

乘法

乘法的符号是“$\times$”或“$\cdot$”，在电脑上常以“$*$”表示，读作“乘号”，乘号前的数称为“被乘数”，乘号后的数是“乘数”，等号后面的答案称为“积”，如例题：$7\times 9=63$。若乘数及被乘数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。此外，也可于被乘数或乘数加上括号去代替乘号，如例题：$7(9)=63$。

附录的#乘法表，被乘数是1时，不必背诵。背诵其他九九乘法的积时，由简至难的被乘数顺序一般认为是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法则：

• 交换律：$x\cdot y=y\cdot x$
• 结合律：$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• 分配律：$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $x\cdot 1=x$
• $x\cdot 0=0$

习题：

1. $9\times 9=$?
2. $4\times 3=$?
3. $2\times 7=$?
4. $7\times 8=$?
5. $3\times 9=$?
6. $36\times 11=$?
7. $65\times 45=$?
8. $12\times 12=$?
9. $85\times 74=$?
10. $31\times 70=$?
11. $69\times 45=$?
12. $67\times 54=$?

除法

除法的符号是“$\div$”，或以分线表示，在电脑上常以“$/$”表示，它们均读作“除号”，除号前的数称为“被除数”，除号后的数是“除数”，等号后面的答案称为“商”，如例题：$63\div 7=9$。若除数及被除数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。另外，部分数被除后可能出现循环小数或无限小数，那么便需要转化成分数来表示（有关小数和分数的资料，将会在下章介绍）。
另外，除的意义为“将一份平均地分为多份”，因此所有数除以零是无效(meaningless)的。 除法可以解读成“重复的减法”。

例如 :$6\div {\color {Orange}3}=2$ ，就好像$6-{\color {Orange}3}-{\color {Orange}3}=0$，$6-{\color {Orange}3}=3,3-{\color {Orange}3}=0$，$6$被${\color {Orange}3}$减了两次就变成$0$

$36\div {\color {Orange}11}$ = ?

$36-{\color {Orange}11}=25$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=14$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=3$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=-8$，因值已经低于0了，不能采用！

$36$被${\color {Orange}11}$连减了3次，$36-11-11-11=3$就是馀数。所以$36\div 11$ = 3馀3

除法的法则：

• $x/1=x$
• $x/x=1$ ($x$≠$0$)
• $x/0$ = ∞，无穷大
• $0/0$ = 不定值
• $-x/0$ = 负无限

习题：

1. $9\div 3=$?
2. $4\div 1=$?
3. $7\div 7=$?
4. $8\div 4=$?
5. $5\div 5=$?
6. $64\div 8=$?
7. $72\div 9=$?
8. $24\div 6=$?
9. $56\div 8=$?
10. $168\div 4=$?
11. $750\div 5=$?
12. $627\div 3=$?
13. $50\div 3=$?

乘方

$b^{n}$等同于$b$自乘 $n$次，即$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$。

开方

开方是乘方的逆运算。

四则运算

所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括号$()$之内的部份要先计算，然后四则运算要先乘除后加减。

例题：$(36+5-1*5)*5/5+5$

上题为： $(36+5-1*5)*5/5+5$

$=(41-5)*5/5+5$

$=36\times 5\div 5+5$ 在此步看见$\times 5$与$\div 5$可以把他们相约 改写为$36+5=41$也称跳步

$=180/5+5$

$=36+5=41$

习题：

1. $(10+3)\times 5=$?
2. $6\times 6+5=$?
3. $4\times 6+39=$?
4. $396\div 11+11=$?
5. $36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=$?

小数与分数

• 小数就是整数和整数之间的数。整数和小数之间会有一个点，称为“小数点”。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
• 分数类似小数，表示方式是在两个数字之间加上一条线。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是占多少份。例:5/3

习题：

请分辨出分数和小数.

• 3.5
• 2/5
• 6.7
• 5/3
• 10/13
• 4.7

百分率

百分率亦类似小数，表示的方法是在一个数字后加上百分比符号"%"。100%亦等于1。百分率的用途有很多，有计算机率、表示数量等，例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，并不是除以100。

附录一：速算技巧

自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。

减法速算

• 两数交叉型减法速解法：
  • 例如：$63-36=(6-3)*9=27$（由6和3所组成的算式，6用3去减，再乘以9）。
• 10的n次方减某数：
  • $10000-1173$，速算法为将$10^{n}$视为$9\times 10^{n-1}+9\times 10^{n-2}+9\times 10^{n-3}+...+9\times 10^{2}+10$，并分拆各数位（$10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)$），然后各数位相减（$(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)$），得出最终结果（$(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827$）。

乘法速算

• 乘以5的数：
  • 数字乘以5：$36\times 5$，速算法为将36乘以10（$36\times 10=360$），再将结果除以2（$360\div 2=180$）。

• 乘以11的数：
  • 两位数乘以11：$36\times 11$，速算法为将６、３两数之和（$6+3=9$），插入36的中间，(如和超过10则进位)，即$36\times 11=396$。
  • 三位数乘以11：$536\times 11$，速算法为将$3+5$、$6+3$插入5、6的中间，即$536\times 11=5896$。
  • 四位数乘以11：$3636\times 11$，速算法为将$3636$拆成$3600+36$，再用$11$去乘它们，又$3600\times 11=39600$，$36\times 11=396$，故$3636\times 11=39996$。
    • $1173\times 11$，速算法为将$1173$拆成$1100+73$，再用$11$去乘它们，又$1100\times 11=12100$，$73\times 11=803$，故$1173\times 11=12903$。

• 乘以111的数：
  • 两位数乘以111：$36\times 111$，速算法为将６、３两数之和$6+3=9$，加两次，插入36的中间，(如和超过10则进位)，即$36\times 111=3996$。
  • 三位数乘以111：$536\times 111$，速算法为将$536$拆成$500+36$，再用$111$去乘它们，又$500\times 111=55500$，$36\times 111=3996$，故$536\times 111=59496$。
• 两位数乘以121：$36\times 121$，速算法为将$36\times 121$拆为$36\times 11\times 11=396\times 11=4356$。

格子乘法

第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。

第一步

第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边：

• $4=4$，将4写在斜线对齐的格子图下边。
• $8+2+5=15$，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图
• $6+5+1+(1)=13$，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。
• $1+(1)=2$，记入格子左边
• $1=1$

第二步

第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354

所以 $58\times 213=12354$

第三步

除法速算

• 除以5的数：
  • 数字除以5：$36\div 5$，速算法为将36除以10（$36\div 10=3.6$），再将结果乘以2（$3.6\times 2=7.2$）。
• 除以11的数：
  • 数字除以11：$12892\div 11$，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。
  1. $12892$从左侧删除一位数字之后为$2892$，记录$1$。$2892-1000=1892$。
  2. $1892$从左侧删除一位数字之后为$892$，记录$1$。$892-100=792$。
  3. $792$从左侧删除一位数字之后为$92$，记录$7$。$92-70=22$。
  4. $22$从左侧删除一位数字之后为$2$，记录$2$。$2-2=0$。
  5. 最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：$1172$。
     • 下方为遇到特殊情况时的处理方式：$2134\div 11$。
     1. $2134$从左侧删除一位数字之后为$134$，记录$2$。
     2. 但$134-200$的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录$2-1=1$；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得$1134-100=1034$。
     3. 但此时结果的前两位数字为$10$，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将$10$视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。
     4. $1034$从左侧删除（技术上的）一位数字之后为$34$，记录$10$。$34-100$的结果为负数。
     5. 此时将原先记录的数字减1，改记录$10-1=9$。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得$134-90=44$。
     6. $44$从左侧删除一位数字之后为$4$，记录$4$。$4-4=0$。
     7. 最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：$194$。

除以7

7是很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着非常简单的规律。请看：

$1\div 7=0.142857142857...$

$2\div 7=0.285714285714...$

$3\div 7=0.428571428571...$

$4\div 7=0.571428571428...$

$5\div 7=0.714285714285...$

$6\div 7=0.857142857142...$

看出规律没有？$1\div 7=0.14,28,57$，后面的数刚好是前面的两倍，$28\times 2=56$，而$56\times 2$刚好进一位就成57，后面$2\div 7$，$3\div 7$，$4\div 7$，$5\div 7$，$6\div 7$正好都是这串数中的一段，只是起始位置不同而已。只要记住142857这串数，就可以很易算出所有除以7的值。
高中化学有条定理，这规律非常有用：1摩任何气体的体积都接近22.4升。而$22.4=3.2\times 7$，$3.2\times 10=32=2^{5}$，在计算中，3.2这因子很易约去，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快。

乘方速算

  建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记§ 乘方表一节的内容。

• 10至19的乘方：
  • $(10+a)^{2}=10\times (10+a)+10a+a^{2}$
• 20至99的乘方：
  • 同前式，但须将20至99之间的数取近似值至十位，并将原式中的10替换成此数。

公式

公式可以将繁复的计算变易。

1. 分配率：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
2. 和平方：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
3. 三数和平方：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
4. 差平方：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
5. 平方差：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
6. 和立方：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
7. 差立方：$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
8. 立方和：$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
9. 立方差：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
10. $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
11. $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

特殊公式

• $1^{2}+1=2^{2}-2$
• $2^{2}+2=3^{2}-3$
• $3^{2}+3=4^{2}-4$
• $4^{2}+4=5^{2}-5$
• $99^{2}+99=100^{2}-100$

已知$1134^{2}+1134+2270+1136+121+(24200+792)=a^{2}\quad (a>0)$，求a的值。

解答：
${\begin{array}{l}a^{2}&=1135^{2}-1135+2270+1136+121+(2200+72)\times 11\\&=1135^{2}+2270+1+121+2272\times 11\\&=(1135+1)^{2}+121+2272\times 11\\&=1136^{2}+11^{2}+2272\times 11\\&=(1136+11)^{2}=1147^{2}\\\Rightarrow &a=1147\end{array}}$

附录二：各种表格

加法表

＋	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘方表

^	2	3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729

对数表

常用对数表

log	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	3010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4561	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900

自然对数表

1	0
2	0.693147180559945
3	1.09861228866811
4	1.386294361119891
5	1.6094379124341
6	1.791759469228055
7	1.945910149055313
8	2.079441541679836
9	2.19722457733622
10	2.302585092994046
11	2.397895272798371
12	2.484906649788
13	2.564949357461537
14	2.639057329615258
15	2.70805020110221