微積分學/導數的概念

定義

一般定義

設函數$y=f(x)\,\!$在點$\;x_{0}\;$的某個鄰域內有定義，當自變量$\;x\;$在$\;x_{0}\;$處取得增量$\Delta x$（點$\;x_{0}+\Delta x$仍在該鄰域內）時，相應地函數$\;y\;$取得增量$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\,\!$；如果$\Delta$$\;y\;$與$\Delta$$\;x\;$之比當$\Delta$$x\to 0$時的極限存在，則稱函數$y=f(x)\,\!$在點$\;x_{0}\;$處可導，並稱這個極限為函數$y=f(x)\,\!$在點$\;x_{0}\;$處的導數，記為$f'(x_{0})\;\!$，即

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$，

也可記作$\left.y^{\prime }\right|_{x=x_{0}}$，$\left.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$ 或 $\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$

若將一點擴展成函數$f(x)$在其定義域包含的某開區間$I$內每一個點，那麼函數$f(x)$在開區間$\;I\;$內可導，這時對於$\;I\;$內每一個確定的$\;x\;$值，都對應着$f(x)$的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函數，這個函數稱作原函數$f(x)$的導函數，記作：$y'$、$f'(x)\;\!$或者${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$

導函數的定義表達式為：

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

值得注意的是，導數是一個數，是指函數$f(x)$在點$x_{0}$處導函數的函數值。但通常也可以說導函數為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。

幾何意義

如右圖所示，設$P_{0}$為曲線上的一個定點，$P$為曲線上的一個動點。當$P$沿曲線逐漸趨向於點$P_{0}$時，並且割線$PP_{0}$的極限位置$P_{0}T$存在，則稱$P_{0}T$為曲線在$P_{0}$處的切線。

若曲線為一函數$y=f(x)$的圖像，那麼割線$PP_{0}$的斜率為：

$\tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

當$P_{0}$處的切線$P_{0}T$，即$PP_{0}$的極限位置存在時，此時$\Delta x\to 0$，$\varphi \to \alpha$，則$P_{0}T$的斜率$\tan \alpha$為：

$\tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\tan \varphi =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

上式與一般定義中的導數定義是完全相同，則$f'(x_{0})=\tan \alpha$，故導數的幾何意義即曲線$y=f(x)$在點$P_{0}(x_{0},f(x_{0}))$處切線的斜率。

函數可導的條件

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在$(-\infty ,+\infty )$上都有定義，那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導而來：

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

上式中，後兩個式子可以定義為函數在$x_{0}$處的左右導數：

左導數：$f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

右導數：$f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

用兩個函數的例子來說明函數可導的條件。

sgn函數，符號函數

1.上面這個符號函數在$x=0$處可導嗎？

解答

• 求出導數在$x=0$處的左右導數，根據函數可導的條件再進行判斷：

該函數在$x=0$處的左導數為：$f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-1-0}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}$

這個極限發散，不存在，故這個符號函數在$x=0$處不可導。

絕對值函數

2.上面這個絕對值函數在$x=0$處可導嗎？

解答

• 求出導數在$x=0$處的左右導數，根據函數可導的條件再進行判斷：

該函數在$x=0$處的左導數為：$f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$

該函數在$x=0$處的右導數為：$f'_{+}(0)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

該函數在$x=0$處的左右導數皆存在，但由於左右導數不相等，故這個絕對值函數在$x=0$處不可導。

• 注意：上面所用的定義式為推導定義式。

以上兩個函數都是在定義域內連續的函數，由此就可以得出一個結論：連續的函數不一定處處可導。

但處處可導的函數一定處處連續。

證明如下

• 證明：設函數$f(x)$上一點$x_{0}$，函數在這一點可導，即$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$存在，其中

$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$

所以：$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \Delta x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x=0$

即函數$f(x)$在$x_{0}$處連續。

導數的求導法則

在解決函數的導數問題上，利用定義是在過於麻煩。故利用定義來引申出幾個基本的求導法則，以利於更好地解決各類求導的問題。

四則運算的求導法則

求導法則
1	$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$
2	$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
3	$\left[{\frac {u(x)}{v(x)}}\right]'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}$

特別地，對於常數$C$：

4	$[Cv(x)]'=Cv'(x)$
5	$\left[{\frac {C}{v(x)}}\right]'={\frac {-Cv'(x)}{v^{2}(x)}}$

以上法則的證明中，對於1，可以利用極限的運算法則驗證；對於2，可以直接使用導數定義證明，證明如下：

• 證明$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

證明如下

• • 證：$[u(x)v(x)]'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}}$（導數的定義式）

$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot {\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}$

$=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

或

$=v(x){\frac {du(x)}{dx}}+u(x){\frac {dv(x)}{dx}}$

複合函數求導

求導法則
1	$\{u[v(x)]\}'=u'[v(x)]v'(x)$

反函數的求導

設函數$y=f(x)$在$x$的某個鄰域內連續，嚴格單調，且在$x$可導而且$f'(x)\neq 0$成立。則它的反函數$x=f^{-1}(y)$在$y$可導，且有：

$[f^{-1}(y)]'={\frac {1}{f'(x)}}$或者${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$

我們可以用一個例子來說明：試求函數$y=\arcsin x(|x|<1)$的導函數。

解：

$y=\arcsin x(|x|<1)$是$x=\sin y(\left|y\right|<{\frac {\pi }{2}})$的反函數，且$x=\sin y$在$I_{y}=\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$開區間上嚴格單調、可導，且$(\sin y)'=\cos y>0$因此由反函數求導法則可得：在對應區間$I_{y}=(-1,1)$內有：

$(\arcsin x)'={\frac {1}{(\sin y)'}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

參數方程和極坐標方程的求導

對於參數方程： ${\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}(\alpha \leq t\leq \beta )$ ,其中$\phi (t)$和$\psi (t)$可導，且$x=\psi (t)$嚴格單調(?)，$\psi '(t)\neq 0$，根據複合函數求導法則和反函數求導法則可得參數方程的導數為：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}$

對於極坐標方程${\begin{cases}x=\rho (\theta )\cos \theta \\y=\rho (\theta )\sin \theta \end{cases}}$，根據參數方程的求導法則可得極坐標方程的導數為：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left[\rho (\theta )\sin \theta \right]'}{\left[\rho (\theta )\cos \theta \right]'}}={\frac {\rho _{\theta }^{'}\sin \theta +\rho \cos \theta }{\rho _{\theta }^{'}\cos \theta -\rho \sin \theta }}$

隱函數的求導

• 有關隱函數的定義，參見隱函數。

隱函數的求導方法的基本思想是要把方程$F(x,y)=0$中的看作$x$的函數$y(x)$，方程兩端對$x$求導，然後再解出隱函數的導數${\frac {dy}{dx}}$。

給出一個例子來進一步說明：

試求由方程${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}={\sqrt {a}}$所確定的$y$關於$x$的隱函數的導數${\frac {dy}{dx}}$，其中$(x,y>0)$。

解：

方程的兩邊同時對$x$求導得：

${\frac {d(x^{\frac {1}{2}}+y^{\frac {1}{2}})}{dx}}={\frac {d{\sqrt {a}}}{dx}}$

${\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=0$

${\frac {dy}{dx}}=-{\sqrt {\frac {y}{x}}}(x,y>0)$

• 通過例題，應當注意方程兩邊求導的對象是$x$，而$y$是用$x$表示的，相當於一個$x$的複合函數，故根據複合函數的求導法則：$[f(y)]'=f'(y)\cdot y_{x}^{'}$。本題中$f(y)={\sqrt {y}},f'(y)={\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}},y_{x}^{'}={\frac {dy}{dx}}$

高階導數

參數方程的高階求導

對於參數方程： ${\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}$，其中$\phi (t)$和$\psi (t)$二階可導，且$\psi '(t)\neq 0$，則由${\frac {dy}{dx}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}$，有

${\frac {{{\rm {d}}^{2}}y}{{\rm {d}}{x^{2}}}}$ $={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}\right)$

$={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)$

$={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}x}}$

$={\frac {\phi ''(t)\psi '(t)-\phi '(t)\psi ''(t)}{{[\psi '(t)]}^{2}}}\cdot {\frac {1}{\psi '(t)}}$

基本函數的導數

基本導數公式
1	$C'=0$
2	$(x^{\mu })'=\mu x^{\mu -1}$
3	$(\sin x)'=\cos x$
4	$(\cos x)'=-\sin x$
5	$(\tan x)'={\frac {1}{{\cos ^{2}}x}}={\sec ^{2}}x$
6	$(\cot x)'=-{\frac {1}{{\sin ^{2}}x}}=-{\csc ^{2}}x$
7	$(\sec x)'={\sec x}{\tan x}$
8	$(\csc x)'=-{\csc x}{\cot x}$
9	$(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
10	$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$
11	$(e^{x})'=e^{x}$
12	$(a^{x})'=a^{x}\ln a$其中$a>0,a\neq 1$
13	$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
14	$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
15	$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$
16	$(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

導數的應用

物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。例如，在物理學中，速度被定義為位置函數的導數，即：$v(t)={ds \over dt}$；而加速度被定義為速度函數的導數，即：$a(t)={dv \over dt}$。另外，導數還可以表示曲線在一點的斜率，以及經濟學中的邊際和彈性。

相關內容

• 導數練習

維基百科中的相關條目：

導數