微积分学/导数的概念

定义

一般定义

设函数$y=f(x)\,\!$在点$\;x_{0}\;$的某个邻域内有定义，当自变量$\;x\;$在$\;x_{0}\;$处取得增量$\Delta x$（点$\;x_{0}+\Delta x$仍在该邻域内）时，相应地函数$\;y\;$取得增量$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\,\!$；如果$\Delta$$\;y\;$与$\Delta$$\;x\;$之比当$\Delta$$x\to 0$时的极限存在，则称函数$y=f(x)\,\!$在点$\;x_{0}\;$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)\,\!$在点$\;x_{0}\;$处的导数，记为$f'(x_{0})\;\!$，即

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$，

也可记作$\left.y^{\prime }\right|_{x=x_{0}}$，$\left.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$ 或 $\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$

若将一点扩展成函数$f(x)$在其定义域包含的某开区间$I$内每一个点，那么函数$f(x)$在开区间$\;I\;$内可导，这时对于$\;I\;$内每一个确定的$\;x\;$值，都对应着$f(x)$的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数$f(x)$的导函数，记作：$y'$、$f'(x)\;\!$或者${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$

导函数的定义表达式为：

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

值得注意的是，导数是一个数，是指函数$f(x)$在点$x_{0}$处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义

如右图所示，设$P_{0}$为曲线上的一个定点，$P$为曲线上的一个动点。当$P$沿曲线逐渐趋向于点$P_{0}$时，并且割线$PP_{0}$的极限位置$P_{0}T$存在，则称$P_{0}T$为曲线在$P_{0}$处的切线。

若曲线为一函数$y=f(x)$的图像，那么割线$PP_{0}$的斜率为：

$\tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

当$P_{0}$处的切线$P_{0}T$，即$PP_{0}$的极限位置存在时，此时$\Delta x\to 0$，$\varphi \to \alpha$，则$P_{0}T$的斜率$\tan \alpha$为：

$\tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\tan \varphi =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则$f'(x_{0})=\tan \alpha$，故导数的几何意义即曲线$y=f(x)$在点$P_{0}(x_{0},f(x_{0}))$处切线的斜率。

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在$(-\infty ,+\infty )$上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

上式中，后两个式子可以定义为函数在$x_{0}$处的左右导数：

左导数：$f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

右导数：$f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

用两个函数的例子来说明函数可导的条件。

sgn函数，符号函数

1.上面这个符号函数在$x=0$处可导吗？

解答

• 求出导数在$x=0$处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在$x=0$处的左导数为：$f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-1-0}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}$

这个极限发散，不存在，故这个符号函数在$x=0$处不可导。

绝对值函数

2.上面这个绝对值函数在$x=0$处可导吗？

解答

• 求出导数在$x=0$处的左右导数，根据函数可导的条件再进行判断：

该函数在$x=0$处的左导数为：$f'_{-}(0)=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$

该函数在$x=0$处的右导数为：$f'_{+}(0)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

该函数在$x=0$处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故这个绝对值函数在$x=0$处不可导。

• 注意：上面所用的定义式为推导定义式。

以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：连续的函数不一定处处可导。

但处处可导的函数一定处处连续。

证明如下

• 证明：设函数$f(x)$上一点$x_{0}$，函数在这一点可导，即$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$存在，其中

$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$

所以：$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \Delta x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x=0$

即函数$f(x)$在$x_{0}$处连续。

导数的求导法则

在解决函数的导数问题上，利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。

四则运算的求导法则

求导法则
1	$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$
2	$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
3	$\left[{\frac {u(x)}{v(x)}}\right]'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}$

特别地，对于常数$C$：

4	$[Cv(x)]'=Cv'(x)$
5	$\left[{\frac {C}{v(x)}}\right]'={\frac {-Cv'(x)}{v^{2}(x)}}$

以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：

• 证明$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

证明如下

• • 证：$[u(x)v(x)]'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}}$（导数的定义式）

$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot {\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}$

$=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

或

$=v(x){\frac {du(x)}{dx}}+u(x){\frac {dv(x)}{dx}}$

复合函数求导

求导法则
1	$\{u[v(x)]\}'=u'[v(x)]v'(x)$

反函数的求导

设函数$y=f(x)$在$x$的某个邻域内连续，严格单调，且在$x$可导而且$f'(x)\neq 0$成立。则它的反函数$x=f^{-1}(y)$在$y$可导，且有：

$[f^{-1}(y)]'={\frac {1}{f'(x)}}$或者${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$

我们可以用一个例子来说明：试求函数$y=\arcsin x(|x|<1)$的导函数。

解：

$y=\arcsin x(|x|<1)$是$x=\sin y(\left|y\right|<{\frac {\pi }{2}})$的反函数，且$x=\sin y$在$I_{y}=\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$开区间上严格单调、可导，且$(\sin y)'=\cos y>0$因此由反函数求导法则可得：在对应区间$I_{y}=(-1,1)$内有：

$(\arcsin x)'={\frac {1}{(\sin y)'}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

参数方程和极坐标方程的求导

对于参数方程： ${\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}(\alpha \leq t\leq \beta )$ ,其中$\phi (t)$和$\psi (t)$可导，且$x=\psi (t)$严格单调(?)，$\psi '(t)\neq 0$，根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}$

对于极坐标方程${\begin{cases}x=\rho (\theta )\cos \theta \\y=\rho (\theta )\sin \theta \end{cases}}$，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\left[\rho (\theta )\sin \theta \right]'}{\left[\rho (\theta )\cos \theta \right]'}}={\frac {\rho _{\theta }^{'}\sin \theta +\rho \cos \theta }{\rho _{\theta }^{'}\cos \theta -\rho \sin \theta }}$

隐函数的求导

• 有关隐函数的定义，参见隐函数。

隐函数的求导方法的基本思想是要把方程$F(x,y)=0$中的看作$x$的函数$y(x)$，方程两端对$x$求导，然后再解出隐函数的导数${\frac {dy}{dx}}$。

给出一个例子来进一步说明：

试求由方程${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}={\sqrt {a}}$所确定的$y$关于$x$的隐函数的导数${\frac {dy}{dx}}$，其中$(x,y>0)$。

解：

方程的两边同时对$x$求导得：

${\frac {d(x^{\frac {1}{2}}+y^{\frac {1}{2}})}{dx}}={\frac {d{\sqrt {a}}}{dx}}$

${\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=0$

${\frac {dy}{dx}}=-{\sqrt {\frac {y}{x}}}(x,y>0)$

• 通过例题，应当注意方程两边求导的对象是$x$，而$y$是用$x$表示的，相当于一个$x$的复合函数，故根据复合函数的求导法则：$[f(y)]'=f'(y)\cdot y_{x}^{'}$。本题中$f(y)={\sqrt {y}},f'(y)={\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}},y_{x}^{'}={\frac {dy}{dx}}$

高阶导数

参数方程的高阶求导

对于参数方程： ${\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}$，其中$\phi (t)$和$\psi (t)$二阶可导，且$\psi '(t)\neq 0$，则由${\frac {dy}{dx}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}$，有

${\frac {{{\rm {d}}^{2}}y}{{\rm {d}}{x^{2}}}}$ $={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}\right)$

$={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)$

$={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}x}}$

$={\frac {\phi ''(t)\psi '(t)-\phi '(t)\psi ''(t)}{{[\psi '(t)]}^{2}}}\cdot {\frac {1}{\psi '(t)}}$

基本函数的导数

基本导数公式
1	$C'=0$
2	$(x^{\mu })'=\mu x^{\mu -1}$
3	$(\sin x)'=\cos x$
4	$(\cos x)'=-\sin x$
5	$(\tan x)'={\frac {1}{{\cos ^{2}}x}}={\sec ^{2}}x$
6	$(\cot x)'=-{\frac {1}{{\sin ^{2}}x}}=-{\csc ^{2}}x$
7	$(\sec x)'={\sec x}{\tan x}$
8	$(\csc x)'=-{\csc x}{\cot x}$
9	$(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
10	$(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$
11	$(e^{x})'=e^{x}$
12	$(a^{x})'=a^{x}\ln a$其中$a>0,a\neq 1$
13	$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
14	$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
15	$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$
16	$(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

导数的应用

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如，在物理学中，速度被定义为位置函数的导数，即：$v(t)={ds \over dt}$；而加速度被定义为速度函数的导数，即：$a(t)={dv \over dt}$。另外，导数还可以表示曲线在一点的斜率，以及经济学中的边际和弹性。

相关内容

• 导数练习

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