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目录

極限的概念编辑

數列的極限编辑

若數列   有上界L,且   ,則數列  的極限   ,意即若   ,則 M 的值不大於L

数列有界性的定义编辑

 使得数列{ }恒满足 ,则称数列{ }有下界;若 使得数列{ }恒满足 ,则称数列{ }有上界;若  使得数列{ }恒满足 ,则称数列{ }有界。

数列极限的定义编辑

设{ }是一组数列, 为常数,且 ,若 ,当   时,下面不等式:

 

恒成立,则称数列{ }的极限存在,并称常数 为数列{ }的极限,通常记作:

 

此时也称{ }是一个收敛的数列。

性质编辑

唯一性编辑

若数列{ }收敛,则{ }的极限值是唯一的。

有界性编辑

若数列{ }收敛,则{ }是有界数列。

保序性编辑

若数列{ }与{ }都有极限。当 时恒有 ,若  ,则必有 

斯铎兹(Otto-Stolz)法则编辑

法则一编辑

  ,且数列{ }单调递减。则当极限 存在时,极限 存在,且 ;当 时,有 

法则二编辑

 ,数列{ }单调递增,则当极限 存在时,极限 存在,且 ;当 时,有 

函數的極限编辑

一個函數 ,若當 時, ,意即當  上越來越趨近 時, 的值越來越趨近 ,一般記做 

函数极限的定义编辑

自变量趋于常数的极限编辑

设函数  的某个去心邻域 内有定义。若 ,总有  使得当 满足 时,必有:

 

则称函数 趋于常数 的极限是 ,通常记作:

 

自变量趋于无穷的极限编辑

1. 对于函数 ,若  ,总 ,当 时必然满足:

 

则称函数 趋于正无穷大的极限是 ,通常记作:

 

2. 对于函数 ,若  ,总 ,当 时必然满足:

 

则称函数 趋于负无穷大的极限是 ,通常记作:

 

3. 对于函数 ,若  ,总 ,当 时必然满足:

 

则称函数 趋于无穷大的极限是 ,通常记作:

 

性质编辑

唯一性编辑

若函数 存在极限,则极限值唯一。

局部保序性编辑

1. 设  ,若 ,当 时,都有 ,则 

2. 设  ,若 ,当 时,都有 ,则 

3. 设  ,若 ,当 时, 都有 ,则 

保号性(也称正负不变性)编辑

  ,则在 的某个去心邻域 内存在一个区间 满足当 时, 的值的正负性与 保持一致。

海涅(Heine–Cantor)定理编辑

设函数  的某个去心邻域 内有定义,则:

 

其中数列{ }是 的某个去心邻域 内任意一个收敛于 的数列,且 

罗比达法则 (l'Hôpital's rule)编辑

若函数     的一个去心邻域内可导且     的值同时等于0或同时趋于无穷,并且   存在或趋于无穷,则:

 

几个常用的极限编辑

1. 设函数 其中 ,则有 

2. 设数列{ }恒满足 ,则有 ,其中 是自然对数的底数, 

3. 设函数 其中 ,则有 

4. 设函数 其中 ,则有 

无穷的阶编辑

无穷大与无穷小的概念编辑

1. 无穷小:通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大:若函数  (或 )时, 的值无穷增大,则称函数  (或 )时为无穷大。通常记作:

 (或者 )。

高阶、低阶与同阶编辑

为了方便下面的讨论,现在将  (其中 ),用符号 来统一表示。

无穷小的高阶、低阶与同阶编辑

1.高阶无穷小:若   在极限附近处满足 ),当 时,称  的高阶无穷小。通常记作:

  或者 

2.低阶无穷小:若   在极限附近处满足 ),当 时,称  的低阶无穷小。

3.同阶无穷小:若   在极限附近处满足 ),当 (其中 )时,称  的同阶无穷小。

4.阶数:若   在极限附近处满足 ),当 (其中 )时,称   阶无穷小, 是无穷小的阶数。

无穷大的高阶、低阶与同阶编辑

1.高阶无穷大:若   在极限附近处必须满足 ),当 时,称  的高阶无穷大。

2.低阶无穷大:若   在极限附近处必须满足 ),当 时,称  的低阶无穷大。

3.同阶无穷大:若   在极限附近处必须满足 ),当 (其中 )时,称  的同阶无穷大。

4.阶数:若   在极限附近处必须满足 ),当 (其中 )时,称   阶无穷大, 是无穷大的阶数。

等价无穷编辑

等价无穷大编辑

   在极限附近处必须满足 ),当 时,称  的等价无穷大。

等价无穷小编辑

   在极限附近处必须满足 ),当 时,称  的等价无穷小。

極限與連續编辑

習題编辑

  1. 设数列 等于 ,问此数列的极限是否存在?
  2. 求以下数列的极限,(下式中 是正整数)
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