# 極限

## 數列的極限

### 数列有界性的定义

${\displaystyle \exists A\in R}$ 使得数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }恒满足${\displaystyle x_{n}\geq A}$ ，则称数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }有下界；若${\displaystyle \exists B\in R}$ 使得数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }恒满足${\displaystyle x_{n}\leq B}$ ，则称数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }有上界；若${\displaystyle \exists A\in R}$ ${\displaystyle \exists B\in R}$ 使得数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }恒满足${\displaystyle B\geq x_{n}\geq A}$ ，则称数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }有界。

### 数列极限的定义

${\displaystyle \left|x_{n}-y\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=y}$

### 斯铎兹（Otto-Stolz）法则

#### 法则一

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x=0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y=0}$ ，且数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }单调递减。则当极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}}$ 存在时，极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$ 存在，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$ ；当${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}\to +\infty }$ 时，有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty }$

#### 法则二

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y\to +\infty }$ ，数列{${\displaystyle \left.y_{n}\right.}$ }单调递增，则当极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}}$ 存在时，极限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$ 存在，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$ ；当${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\to +\infty }$ 时，有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty }$

## 函數的極限

### 函数极限的定义

#### 自变量趋于常数的极限

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$

#### 自变量趋于无穷的极限

1. 对于函数${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$ ${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$ ，总${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{+}} }$ ，当${\displaystyle \left.x>X\right.}$ 时必然满足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}$

2. 对于函数${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$ ${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$ ，总${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{-}} }$ ，当${\displaystyle \left.x 时必然满足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}$

3. 对于函数${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$ ${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$ ，总${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R} }$ ，当${\displaystyle x>\left|X\right|}$ 时必然满足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A}$

### 性质

#### 局部保序性

1. 设${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=b}$ ，若${\displaystyle \exists \delta \in \mathbf {R^{+}} }$ ，当${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta }$ 时，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ，则${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

2. 设${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=b}$ ，若${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{+}} }$ ，当${\displaystyle \left.x>X\right.}$ 时，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ，则${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

3. 设${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=a}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }g(x)=b}$ ，若${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{-}} }$ ，当${\displaystyle \left.x 时， 都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ，则${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

#### 保号性（也称正负不变性）

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ ${\displaystyle \left.A\not =0\right.}$ ，则在${\displaystyle a\in \mathbf {R} }$ 的某个去心邻域${\displaystyle (-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )}$ 内存在一个区间${\displaystyle \left.U_{o}\right.}$ 满足当${\displaystyle x\in U_{o}}$ 时，${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ 的值的正负性与${\displaystyle \left.A\right.}$ 保持一致。

#### 海涅（Heine–Cantor）定理

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A}$

### 罗比达法则 (l'Hôpital's rule)

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$

## 几个常用的极限

1. 设函数${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ 其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$ ，则有${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1}$

2. 设数列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$ }恒满足${\displaystyle x_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}}$ ，则有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=e}$ ，其中${\displaystyle \left.e\right.}$ 是自然对数的底数，${\displaystyle e\approx 2.712818\cdots }$

3. 设函数${\displaystyle f(x)=(1+{\frac {1}{x}})^{x}}$ 其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$ ，则有${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=e}$

4. 设函数${\displaystyle f(x)=(1-{\frac {1}{x}})^{x}}$ 其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$ ，则有${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {1}{e}}}$

## 无穷的阶

### 无穷大与无穷小的概念

1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大：若函数${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ （或${\displaystyle x\to \infty }$ ）时，${\displaystyle \left|f(x)\right|}$ 的值无穷增大，则称函数${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ （或${\displaystyle x\to \infty }$ ）时为无穷大。通常记作：

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$ （或者${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$ ）。

### 高阶、低阶与同阶

#### 无穷小的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的高阶无穷小。通常记作：

${\displaystyle \left.f(x)=o(g(x))\right.}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ 或者${\displaystyle x\to \infty }$

2.低阶无穷小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$ ${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ 在极限附近处满足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的低阶无穷小。

3.同阶无穷小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}$ （其中${\displaystyle c\in \mathbf {R} }$ ）时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的同阶无穷小。

4.阶数：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c}$ （其中${\displaystyle c,m\in \mathbf {R} }$ ）时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.m\right.}$ 阶无穷小，${\displaystyle \left.m\right.}$ 是无穷小的阶数。

#### 无穷大的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$ ${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的高阶无穷大。

2.低阶无穷大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$ ${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的低阶无穷大。

3.同阶无穷大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}$ （其中${\displaystyle c\in \mathbf {R} }$ ）时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的同阶无穷大。

4.阶数：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c}$ （其中${\displaystyle c,m\in \mathbf {R} }$ ）时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.m\right.}$ 阶无穷大，${\displaystyle \left.m\right.}$ 是无穷大的阶数。

### 等价无穷

#### 等价无穷大

${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$ ${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的等价无穷大。

#### 等价无穷小

${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 在极限附近处必须满足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$ ），当${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$ 时，称${\displaystyle \left.f(x)\right.}$ ${\displaystyle \left.g(x)\right.}$ 的等价无穷小。

## 習題

1. 设数列${\displaystyle a_{n}}$ 等于${\displaystyle (-1)^{n}+1}$ ，问此数列的极限是否存在？
2. 求以下数列的极限，（下式中${\displaystyle n}$ 是正整数）
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {ln} n}{n}}=}$ ?