微積分學/中值定理

本節內容基於《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2節(Mean Value Theorem)翻譯而來。

中值定理(mean value theorem)聯繫函數的平均變化率與瞬時變化率(導數)。

定義

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若函數 在閉區間 處處連續,且在開區間 處處可導,則在 內至少有一點使得

 

上述定義中的兩條前提條件不可捨去,否則便會產生反例,如下所示。

存在不可導點時的反例

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對函數 ,若令  ,則必有

 

 

然而,此函數在 上的導函數卻為

 

因此,相應的 值不存在。

存在不連續點時的反例

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對函數 ,若令  ,則必有

 

然而,此函數在 上的導函數卻為

 

因此,相應的 值不存在。