微積分學/中值定理

本節內容基於《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2節（Mean Value Theorem）翻譯而來。

中值定理（mean value theorem）聯繫函數的平均變化率與瞬時變化率（導數）。

定義

若函數$f(x)$在閉區間$[a,b]$內處處連續，且在開區間$(a,b)$內處處可導，則在$(a,b)$內至少有一點${\displaystyle }$使得

$\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$。

上述定義中的兩條前提條件不可捨去，否則便會產生反例，如下所示。

存在不可導點時的反例

對函數$f(x)=|x|$，若令$a<0$且$b>0$，則必有

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {b+a}{b-a}}\\&<{\frac {b}{b}}\\&=1\end{aligned}}$

與

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {b+a}{b-a}}\\&=-{\frac {-a-b}{-a+b}}\\&>-{\frac {-a}{-a}}\\&=-1{\text{。}}\end{aligned}}$

然而，此函數在$\mathbb {R}$上的導函數卻為

$f'(x)={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}$。

因此，相應的$c$值不存在。

存在不連續點時的反例

對函數$f(x)=\operatorname {sgn}(x)$，若令$a<0$且$b>0$，則必有

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {2}{b-a}}\\&>0{\text{。}}\end{aligned}}$

然而，此函數在$\mathbb {R}$上的導函數卻為

$f'(x)={\begin{cases}0&x<0\\0&x>0\end{cases}}$。

因此，相應的$c$值不存在。