微积分学/中值定理

本节内容基于《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2节(Mean Value Theorem)翻译而来。

中值定理(mean value theorem)联系函数的平均变化率与瞬时变化率(导数)。

定义

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若函数 在闭区间 处处连续,且在开区间 处处可导,则在 内至少有一点使得

 

上述定义中的两条前提条件不可舍去,否则便会产生反例,如下所示。

存在不可导点时的反例

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对函数 ,若令  ,则必有

 

 

然而,此函数在 上的导函数却为

 

因此,相应的 值不存在。

存在不连续点时的反例

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对函数 ,若令  ,则必有

 

然而,此函数在 上的导函数却为

 

因此,相应的 值不存在。