國中數學/國中數學七年級/2-1 質因數分解

1-5 其他的數

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國中數學七年級 2-1 質因數分解

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2-2 最大公因數與最小公倍數

本章節將介紹關於分數的運算，不過在此之前，我們首先將介紹質因數分解的概念，然後進入最大公因數與最小公倍數，最後才進行分數運算。

因數與倍數

在國小學過，如果甲數、乙數與丙數都是整數，而且甲數$\div$乙數$=$丙數，則我們稱乙數為甲數的因數，甲數為乙數的倍數。又因為當甲數不是$0$的時候，甲數$\div$乙數$=$丙數也代表甲數$\div$丙數$=$乙數，所以丙數也是甲數的因數，甲數也是丙數的倍數。

• 例如$15\div 5=3$，$5$和$3$都是$15$的因數，$15$是$5$的倍數，也是$3$的倍數。
• 簡單來說，滿足除法關係的三個整數中，最大的數為較小數的倍數。反之，比較小的兩個數為最大數的因數。
• 因數的英文為factor，倍數的英文為multiple。

這樣的定義可以延伸到負整數上，即如果$a,b,c$為三個任意整數(無論正負)而且滿足$a\div b=c$，則$a$為$b,c$的倍數，$b,c$為$a$的因數 。但由於$a\div b=c$也代表着$a\div (-b)=-c$，故若$b,c$為$a$的因數時，$-b,-c$也為$a$的因數，所以在國中的課程當中，如果沒有特別說明，「因數」都是指「正因數」。同理，「倍數」都是指「正倍數」。

• • 如$(-15)\div 5=-3$，$5$和$-3$都是$-15$的因數，$-15$是$5$的倍數，也是$-3$的倍數。
  • 同理$(-15)\div (-5)=3$，$-5$和$3$都是$-15$的因數，$-15$是$-5$的倍數，也是$3$的倍數。
• 很顯然的，$b$的位置不能擺$0$，所以$0$不會是任何整數的因數。
• 因為$a\div 1=a$，所以$1$是任何整數的因數。
• 因為$0\div b=0$，所以$0$是任何非$0$整數的倍數。
• 因為$a\div a=1$，所以當$a$不是$0$時，$a$是$a$的因數，$a$也是$a$的倍數。
• 因為$a\div b=c$代表$b\times c=a$，所以有人也會用乘法的方式說明倍數與因數的關係。

要判斷是否有因數與倍數的關係，我們只需要使用除法即可。

例題$1$ $(1)$請問$899$是不是$31$的倍數？ $(2)$請問$27$是不是$287$的因數？

解 $(1)$計算$899\div 31=29$，故$899$為$31$的倍數。 $(2)$計算$287\div 27=10...17$，故$27$不是$287$的因數。

習題
$(1)$判斷$725,865$二數是不是$25$的倍數。
$(2)$判斷$17$是不是$962$的因數。

質數與合數

我們知道任意一個整數$n$，它都至少有兩個因數：$1$和它自己本身。

1. 如果除此之外$n$沒有其他因數了，那麼$n$我們稱為質數(prime)。
   • 例如$11$的因數只有$1$和$11$，所以$11$是一個質數。
   • 以下列出$100$以內的$25$個質數：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$，質數當中只有一個偶數$2$，因為除了$2$以外，其他偶數都有額外多一個$2$這個因數。質數當中末位數字是$5$的也只有$5$一個，因為除了$5$以外，末位數字是$5$的整數就必然會有$5$這個額外的因數。
2. 如果除此之外$n$還有其他因數，那麼$n$我們稱為合數(composite number)。
   • 例如$12$的因數除了$1$和$12$之外還有$2,3,4,6$，所以$12$是一個合數。
   • 常常會被誤判成質數的合數：$51,57,87,91$。
3. $1$既不是質數也不是合數。
4. 埃拉托斯特尼篩法為一種找出質數的方法。

例題$2$：民國99年第二次基測第2題 下列選項中表示的數，哪一個是質數？ ${\begin{matrix}(A)2\times 13&&(B)1\times 12&&(C)1\times 79&&(D)7\times 13\end{matrix}}$

解 質數只有兩個因數$1$和自己本身，也就是說質數只能有一種乘法分解的形式：$1\times$它自己。故$(A)(D)$錯誤。 $(B)12$為合數，$(C)79$為質數，故選$(C)$。

習題
下列四個數，哪一個不是質數？(96.第一次基測第7題)
${\begin{matrix}(A)41&&(B)61&&(C)71&&(D)91\end{matrix}}$

質因數分解與標準分解式

質因數

當一個正整數$p$既是質數，也是正整數$n$的因數，則我們稱$p$為$n$的質因數。
例如：$15$的因數有$1,3,5,15$，其中$3,5$都是質數，故$3,5$是$15$的質因數。
習題
$(1)$請列出所有$42$的因數。
$(2)$$42$的質因數有哪些？

質因數分解

國小學過使用短除法將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下：
1.如果$n$是質數則不用做以下的事情。
2.找出正整數$n$的質因數$p$，並計算$n\div p$的結果，在$n$周圍畫出「L」，並將質因數$p$放置在「L」左邊，計算出來的商放置在「L」下層。

• 以$48$做例子：
• $48$的質因數有一個是$2$，所以先用$2$，而$48\div 2=24$，所以寫法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}24\\\end{array}}$

3.如果上一步的結果為質數，那麼就結束；如果不是，就一直重複第2個步驟。

• 以$48$做例子：
• 因為$24$不是質數所以要繼續，$24$的質因數有一個是$2$，所以用$2$除，而$24\div 2=12$，所以寫法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}12\\\end{array}}$
  
• 因為$12$不是質數所以要繼續，$12$的質因數有一個是$2$，所以用$2$除，而$12\div 2=6$，所以寫法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}6\\\end{array}}$
  
• 因為$6$不是質數所以要繼續，$6$的質因數有一個是$2$，所以用$2$除，而$6\div 2=3$，所以寫法是：
• ${\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\2{\underline {){\color {White}0}6}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}3\\\end{array}}$
  
• 因為$3$是質數所以結束了。

4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成質因數分解。

• 以$48$為例，$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3$。

標準分解式

由1-4 指數記法與科學記號單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將$n$的質因數分解表示成質因數由小到大排列且寫成質因數次方的形式，我們稱這樣的式子為$n$的標準分解式。

• 以$48$為例，$48=2\times 2\times 2\times 2\times 3=2^{4}\times 3$，$2^{4}\times 3$稱為$48$的標準分解式。

倍數判別法

在上面的說明當中，找出一個整數的質因數是相當難的事情。如$221$的質因數是多少？或是RSA-155$39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603$的質因數分解為何？
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數$2,3,5,11$的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法，可以參考整除規則。

質數	倍數判別法	例子
$2$	末位數字為$0,2,4,6,8$。	$0$是$2$的倍數。
$3$	各位數字和為$3$的倍數。	$123456$是$3$的倍數，因為$1+2+3+4+5+6=21$，$21$是$3$的倍數。
$5$	末位數字為$0,5$。	$12345$是$5$的倍數。
$11$	個位數字為第$1$位，十位數字為第$2$位，百位數字為第$3$位，……，依此類推， 奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為$0$或$11$的倍數。	${\color {red}4}{\color {blue}0}{\color {red}3}{\color {blue}0}{\color {red}8}{\color {blue}4}$是$11$的倍數，因為奇數位數字和為${\color {blue}4+0+0=4}$，偶數位數字和為${\color {red}8+3+4=15}$，${\color {blue}4}-{\color {red}15}=-11$為$11$的倍數。