国中数学/国中数学七年级/2-1 质因数分解

 1-5 其他的数 国中数学七年级
2-1 质因数分解
2-2 最大公因数与最小公倍数 

本章节将介绍关于分数的运算,不过在此之前,我们首先将介绍质因数分解的概念,然后进入最大公因数与最小公倍数,最后才进行分数运算。

因数与倍数

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在国小学过,如果甲数、乙数与丙数都是整数,而且甲数 乙数 丙数,则我们称乙数为甲数的因数,甲数为乙数的倍数。又因为当甲数不是 的时候,甲数 乙数 丙数也代表甲数 丙数 乙数,所以丙数也是甲数的因数,甲数也是丙数的倍数。

  • 例如   都是 的因数,  的倍数,也是 的倍数。
  • 简单来说,满足除法关系的三个整数中,最大的数较小数倍数。反之,比较小的两个数最大数因数
  • 因数的英文为factor,倍数的英文为multiple。

这样的定义可以延伸到负整数上,即如果 为三个任意整数(无论正负)而且满足 ,则  的倍数,  的因数 。但由于 也代表著 ,故若  的因数时, 也为 的因数,所以在国中的课程当中,如果没有特别说明,“因数”都是指“正因数”。同理,“倍数”都是指“正倍数”。

    •    都是 的因数,  的倍数,也是 的倍数。
    • 同理   都是 的因数,  的倍数,也是 的倍数。
  • 很显然的, 的位置不能摆 ,所以 不会是任何整数的因数。
  • 因为 ,所以 是任何整数的因数。
  • 因为 ,所以 是任何非 整数的倍数。
  • 因为 ,所以当 不是 时,  的因数, 也是 的倍数。
  • 因为 代表 ,所以有人也会用乘法的方式说明倍数与因数的关系。

要判断是否有因数与倍数的关系,我们只需要使用除法即可。

例题 
 请问 是不是 的倍数?

 请问 是不是 的因数?

 计算 ,故  的倍数。

 计算 ,故 不是 的因数。

习题
 判断 二数是不是 的倍数。[习题解答 1]
 判断 是不是 的因数。[习题解答 2]

质数与合数

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我们知道任意一个整数 ,它都至少有两个因数: 和它自己本身。

  1. 如果除此之外 没有其他因数了,那么 我们称为质数[注 1](prime)[注 2]
    • 例如 的因数只有  ,所以 是一个质数。
    • 以下列出 以内的 个质数: ,质数当中只有一个偶数 ,因为除了 以外,其他偶数都有额外多一个 这个因数。质数当中末位数字是 的也只有 一个,因为除了 以外,末位数字是 的整数就必然会有 这个额外的因数。
  2. 如果除此之外 还有其他因数,那么 我们称为合数[注 3](composite number)。
    • 例如 的因数除了  之外还有 ,所以 是一个合数。
    • 常常会被误判成质数的合数: 
  3.  既不是质数也不是合数。
  4. 埃拉托斯特尼筛法[注 4]为一种找出质数的方法。
例题 :民国99年第二次基测第2题
下列选项中表示的数,哪一个是质数?

 

质数只有两个因数 和自己本身,也就是说质数只能有一种乘法分解的形式: 它自己。故 错误。

 为合数, 为质数,故选 

习题
下列四个数,哪一个不是质数?(96.第一次基测第7题)[习题解答 3]
 

质因数分解与标准分解式

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质因数

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当一个正整数 既是质数,也是正整数 的因数,则我们称  质因数
例如: 的因数有 ,其中 都是质数,故  的质因数。
习题
 请列出所有 的因数。[习题解答 4]
  的质因数有哪些?[习题解答 5]

质因数分解

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国小学过使用短除法将一个整数做质因数分解。而短除法的计算步骤如下:
1.如果 是质数则不用做以下的事情。
2.找出正整数 的质因数 ,并计算 的结果,在 周围画出“L”,并将质因数 放置在“L”左边,计算出来的商放置在“L”下层。

  •  做例子:
  •  的质因数有一个是 ,所以先用 ,而 ,所以写法是:
  •  

3.如果上一步的结果为质数,那么就结束;如果不是,就一直重复第2个步骤。

  •  做例子:
  • 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
  •  
  • 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
  •  
  • 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
  •  
  • 因为 是质数所以结束了。

4.将所有“L”外围(左边与最下面)的数字写成连乘法就完成质因数分解

  •  为例, 

标准分解式

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1-4 指数记法与科学记号单元知道相同数字连乘可以写成指数的形式。将 的质因数分解表示成质因数由小到大排列且写成质因数次方的形式,我们称这样的式子为 标准分解式

  •  为例,  称为 的标准分解式。

倍数判别法

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在上面的说明当中,找出一个整数的质因数是相当难的事情。如 的质因数是多少?或是RSA-155 的质因数分解为何?
所以学习一些质数倍数的判别法就显得相当重要。底下列出质数 的质数判别法。其馀的质数判别法或是合数倍数判别法,可以参考整除规则

质数 倍数判别法 例子
 
末位数字为 
  的倍数。[注 5]
 
各位数字和为 的倍数。
  的倍数,因为   的倍数。[注 6]
 
末位数字为 
  的倍数。
 
个位数字为第 位,十位数字为第 位,百位数字为第 位,……,依此类推,

奇数位数字和与偶数位数字相减的结果为  的倍数。
  的倍数,因为奇数位数字和为 ,偶数位数字和为   的倍数。[注 7]

注解

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  1. 质数也称作“素数”。
  2. 质数的维基百科资料:质数:维基百科
  3. 合数就是“合成数”。
  4. 维基百科:厄拉托西尼
  5. 0是偶数吗?
  6. 有些人会主张最后的结果要是一位数,这个结果称为数字的数根,在这个例子 的数根为 。所以有另外一个说法为数根为 的整数都是 的倍数。
  7. 可以用大的减小的避免负数的情形。

习题解答

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  1.  是, 不是。
  2. 是。
  3.  
  4.  
  5.