本章节将介绍关于分数的运算,不过在此之前,我们首先将介绍质因数分解的概念,然后进入最大公因数与最小公倍数,最后才进行分数运算。
在国小学过,如果甲数、乙数与丙数都是整数,而且甲数 乙数 丙数,则我们称乙数为甲数的因数,甲数为乙数的倍数。又因为当甲数不是 的时候,甲数 乙数 丙数也代表甲数 丙数 乙数,所以丙数也是甲数的因数,甲数也是丙数的倍数。
- 例如 , 和 都是 的因数, 是 的倍数,也是 的倍数。
- 简单来说,满足除法关系的三个整数中,最大的数为较小数的倍数。反之,比较小的两个数为最大数的因数。
- 因数的英文为factor,倍数的英文为multiple。
这样的定义可以延伸到负整数上,即如果 为三个任意整数(无论正负)而且满足 ,则 为 的倍数, 为 的因数
。但由于 也代表著 ,故若 为 的因数时, 也为 的因数,所以在国中的课程当中,如果没有特别说明,“因数”都是指“正因数”。同理,“倍数”都是指“正倍数”。
- 如 , 和 都是 的因数, 是 的倍数,也是 的倍数。
- 同理 , 和 都是 的因数, 是 的倍数,也是 的倍数。
- 很显然的, 的位置不能摆 ,所以 不会是任何整数的因数。
- 因为 ,所以 是任何整数的因数。
- 因为 ,所以 是任何非 整数的倍数。
- 因为 ,所以当 不是 时, 是 的因数, 也是 的倍数。
- 因为 代表 ,所以有人也会用乘法的方式说明倍数与因数的关系。
要判断是否有因数与倍数的关系,我们只需要使用除法即可。
例题 请问 是不是 的倍数?
请问 是不是 的因数?
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习题
判断 二数是不是 的倍数。[习题解答 1]
判断 是不是 的因数。[习题解答 2]
我们知道任意一个整数 ,它都至少有两个因数: 和它自己本身。
- 如果除此之外 没有其他因数了,那么 我们称为质数[注 1](prime)[注 2]。
- 例如 的因数只有 和 ,所以 是一个质数。
- 以下列出 以内的 个质数: ,质数当中只有一个偶数 ,因为除了 以外,其他偶数都有额外多一个 这个因数。质数当中末位数字是 的也只有 一个,因为除了 以外,末位数字是 的整数就必然会有 这个额外的因数。
- 如果除此之外 还有其他因数,那么 我们称为合数[注 3](composite number)。
- 例如 的因数除了 和 之外还有 ,所以 是一个合数。
- 常常会被误判成质数的合数: 。
- 既不是质数也不是合数。
- 埃拉托斯特尼筛法[注 4]为一种找出质数的方法。
例题 :民国99年第二次基测第2题 下列选项中表示的数,哪一个是质数?
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解 质数只有两个因数 和自己本身,也就是说质数只能有一种乘法分解的形式: 它自己。故 错误。
为合数, 为质数,故选 。
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习题
下列四个数,哪一个不是质数?(96.第一次基测第7题)[习题解答 3]
当一个正整数 既是质数,也是正整数 的因数,则我们称 为 的质因数。
例如: 的因数有 ,其中 都是质数,故 是 的质因数。
习题
请列出所有 的因数。[习题解答 4]
的质因数有哪些?[习题解答 5]
国小学过使用短除法将一个整数做质因数分解。而短除法的计算步骤如下:
1.如果 是质数则不用做以下的事情。
2.找出正整数 的质因数 ,并计算 的结果,在 周围画出“L”,并将质因数 放置在“L”左边,计算出来的商放置在“L”下层。
- 以 做例子:
- 的质因数有一个是 ,所以先用 ,而 ,所以写法是:
-
3.如果上一步的结果为质数,那么就结束;如果不是,就一直重复第2个步骤。
- 以 做例子:
- 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
-
- 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
-
- 因为 不是质数所以要继续, 的质因数有一个是 ,所以用 除,而 ,所以写法是:
-
- 因为 是质数所以结束了。
4.将所有“L”外围(左边与最下面)的数字写成连乘法就完成质因数分解。
- 以 为例, 。
由1-4 指数记法与科学记号单元知道相同数字连乘可以写成指数的形式。将 的质因数分解表示成质因数由小到大排列且写成质因数次方的形式,我们称这样的式子为 的标准分解式。
- 以 为例, , 称为 的标准分解式。
在上面的说明当中,找出一个整数的质因数是相当难的事情。如 的质因数是多少?或是RSA-155 的质因数分解为何?
所以学习一些质数倍数的判别法就显得相当重要。底下列出质数 的质数判别法。其馀的质数判别法或是合数倍数判别法,可以参考整除规则。
质数
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倍数判别法
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例子
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末位数字为 。
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是 的倍数。[注 5]
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各位数字和为 的倍数。
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是 的倍数,因为 , 是 的倍数。[注 6]
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末位数字为 。
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是 的倍数。
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个位数字为第 位,十位数字为第 位,百位数字为第 位,……,依此类推,
奇数位数字和与偶数位数字相减的结果为 或 的倍数。
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是 的倍数,因为奇数位数字和为 ,偶数位数字和为 , 为 的倍数。[注 7]
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- ↑ 质数也称作“素数”。
- ↑ 质数的维基百科资料:质数:维基百科
- ↑ 合数就是“合成数”。
- ↑ 维基百科:厄拉托西尼
- ↑ 0是偶数吗?
- ↑ 有些人会主张最后的结果要是一位数,这个结果称为数字的数根,在这个例子 的数根为 。所以有另外一个说法为数根为 的整数都是 的倍数。
- ↑ 可以用大的减小的避免负数的情形。
- ↑ 是, 不是。
- ↑ 是。
- ↑ 。
- ↑ 。
- ↑ 。