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設函數
在
的某個去心鄰域的左半區間
內有定義。若
，總有
，
使得當
滿足
時，必有：
則稱函數 趨於常數
的左極限是
，通常記作：
設函數 在 的某個去心鄰域的右半區間
內有定義。若 ，總有 ， 使得當 滿足
時，必有：
-
則稱函數 趨於常數 的右極限是 ，通常記作：
函數 在點 處（其中 ）的極限是否存在等價於函數的左極限與右極限都存在且相等；與函數 在點 處是否有定義無關。例如：
函數
在點0處沒有定義，但其在點0處的極限存在。
1.左連續：設函數 在
點處有定義，在 點處左極限存在，並且滿足：
則稱函數 在 點處左連續。
2.右連續：設函數 在 點處有定義，在 點處右極限存在，並且滿足：
則稱函數 在 點處右連續。
3.連續：函數 在點 處連續等價於函數 同時滿足點 處的左連續性與右連續性。以上條件可表述為：
設
滿足
；若函數 在開區間
內每一點都連續，則稱函數 在該開區間上連續，記作：
設 滿足 ；若函數 在開區間 內每一點都連續，且函數 在點 上右連續，在點
上左連續，則稱 在閉區間![{\displaystyle \left.[a,b]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94434cced3afd20f33f2bcca05147c2b7f990ac8)
上連續，記作：
![{\displaystyle f(x)\in C[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ec737654ab575343ca2cc293a78504d1f44a17)
若函數 在閉區間 上連續，則![{\displaystyle \exists \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d4bbd10e1eae2e9327458430ba909999b128b8)
恆滿足![{\displaystyle \forall c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a30dc083c49eabfc5cc47e51b8427297b52f8cb)
有
。
若函數 在閉區間 上連續，且
，則
滿足
。
若函數 在閉區間 上連續，且
，則 滿足
。
![{\displaystyle f(x)=\lim _{m\to \infty }[\lim _{n\to \infty }\cos ^{n}(m!\pi x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e347d2d4c5205f5d382e66107f148c8a72aa572f)
，
用函數極限的定義很容易看出荻里克萊函數在實數域上每一點的左右極限都不存在，所以荻里克萊函數在實數域上每一點都不連續，每一點都屬於第二類間斷點。
-
式中
表示
與
的最大公約數是1，
表示不包含0的整數範圍。
這是一個周期函數，1是其周期；在![{\displaystyle \left.[0,1]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00f3f11c5cb5134c45e26f4338dc6993c796015)
內討論該函數連續性即可。
根據函數極限定義可知此函數在實數域上每一點的極限都是0，所以黎曼函數在每一無理數點上連續，在每一有理數點上不連續，而且都是可去間斷點。
![{\displaystyle f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7e59db5044c899f805b2e0d8ae3d42f0e5de7c)
