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设函数
在
的某个去心邻域的左半区间
内有定义。若
，总有
，
使得当
满足
时，必有：
则称函数 趋于常数
的左极限是
，通常记作：
设函数 在 的某个去心邻域的右半区间
内有定义。若 ，总有 ， 使得当 满足
时，必有：
-
则称函数 趋于常数 的右极限是 ，通常记作：
函数 在点 处（其中 ）的极限是否存在等价于函数的左极限与右极限都存在且相等；与函数 在点 处是否有定义无关。例如：
函数
在点0处没有定义，但其在点0处的极限存在。
1.左连续：设函数 在
点处有定义，在 点处左极限存在，并且满足：
则称函数 在 点处左连续。
2.右连续：设函数 在 点处有定义，在 点处右极限存在，并且满足：
则称函数 在 点处右连续。
3.连续：函数 在点 处连续等价于函数 同时满足点 处的左连续性与右连续性。以上条件可表述为：
设
满足
；若函数 在开区间
内每一点都连续，则称函数 在该开区间上连续，记作：
设 满足 ；若函数 在开区间 内每一点都连续，且函数 在点 上右连续，在点
上左连续，则称 在闭区间![{\displaystyle \left.[a,b]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94434cced3afd20f33f2bcca05147c2b7f990ac8)
上连续，记作：
![{\displaystyle f(x)\in C[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ec737654ab575343ca2cc293a78504d1f44a17)
若函数 在闭区间 上连续，则![{\displaystyle \exists \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d4bbd10e1eae2e9327458430ba909999b128b8)
恒满足![{\displaystyle \forall c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a30dc083c49eabfc5cc47e51b8427297b52f8cb)
有
。
若函数 在闭区间 上连续，且
，则
满足
。
若函数 在闭区间 上连续，且
，则 满足
。
![{\displaystyle f(x)=\lim _{m\to \infty }[\lim _{n\to \infty }\cos ^{n}(m!\pi x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e347d2d4c5205f5d382e66107f148c8a72aa572f)
，
用函数极限的定义很容易看出荻里克莱函数在实数域上每一点的左右极限都不存在，所以荻里克莱函数在实数域上每一点都不连续，每一点都属于第二类间断点。
-
式中
表示
与
的最大公约数是1，
表示不包含0的整数范围。
这是一个周期函数，1是其周期；在![{\displaystyle \left.[0,1]\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00f3f11c5cb5134c45e26f4338dc6993c796015)
内讨论该函数连续性即可。
根据函数极限定义可知此函数在实数域上每一点的极限都是0，所以黎曼函数在每一无理数点上连续，在每一有理数点上不连续，而且都是可去间断点。
![{\displaystyle f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7e59db5044c899f805b2e0d8ae3d42f0e5de7c)
