微積分學/極限/極限的定義

上一節中我們引進了極限的概念。我們看到，極限的概念包括數列的極限和函數的極限。這一節中，我們將給出極限的嚴格定義。

數列的極限

我們在上一節中已經見到，數列的極限是一個確定的值，表示的是數列發展的最終趨勢。用不嚴格的說法，一個數列$\{a_{n}\}$存在某個極限$L$，表示只要$n$足夠大，$a_{n}$就會任意接近$L$。為了讓極限成為嚴格的數學概念，我們需要對上一句話中的每一個部分進行數學上的明確描述和定義，否則在應用和操作上就會產生混淆。現代的微積分學中主要使用的是由19世紀法國數學家奧古斯丁·路易·柯西所引進的$N-\varepsilon$定義：

定義：
設$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$是一個給定的實數數列。$L$是一個給定的實數。如果對任意的正實數$\varepsilon$，都存在一個自然數$N$，使得對任意的自然數$n$，只要$n\geqslant N$，就有$\vert a_{n}-L\vert <\varepsilon .$那麼就稱$L$是數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限，記為 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$。反之則稱$L$不是數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限。

這個定義對之前的「足夠大」、「任意接近」等概念進行了精確的說明，是可以讓我們進行具體操作的。比如讓我們回頭看一看上一節中的例子：

$a_{0}=1,\quad a_{1}={\frac {1}{2}},\quad a_{2}={\frac {1}{4}},\,\cdots \,,a_{n}={\frac {1}{2^{n}}},\,\cdots$

我們曾經通過觀察認為這個數列的極限是0。現在我們可以運用以上的定義來證明之：

證明：

首先注意到一個事實：對所有的自然數$m$，都有$2^{m}>m$，也就是說$2^{m}\geqslant m+1$。

對任意的正實數$\varepsilon >0$，它的倒數${\frac {1}{\varepsilon }}$也是一個正實數。記$N_{0}=\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\rfloor$為它的整數部分。則對於任意的自然數$n$，只要$n\geqslant N_{0}$，那麼

$a_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\leqslant {\frac {1}{2^{N_{0}}}}\leqslant {\frac {1}{N_{0}+1}}.$

而

$N_{0}+1=\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\rfloor +1>{\frac {1}{\varepsilon }}$

所以

${\frac {1}{N_{0}+1}}<\varepsilon .$

也就是說

$\vert a_{n}-0\vert =a_{n}\leqslant {\frac {1}{N_{0}+1}}<\varepsilon .$

因此$0$是數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限。

要注意的是，我們只證明了「$0$是數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限」，而非「數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限是$0$」。不過在後面我們會知道，極限如果存在，就是唯一的，所以上面兩個命題其實是等價的命題。

函數的極限

函數的極限比數列的極限更加多樣。實際上，數列可以看做是定義在自然數集合$\mathbb {N}$上面的函數。不過常見的初等函數一般是定義在實數上的，而我們知道，實數比自然數「多得多」，所以函數的極限描述的是多種無限過程的最終趨勢。

趨近某一點的極限

一類最簡單的極限是函數在其定義域內有限一點的極限。這類極限描述的是函數$f(x)$的自變量$x$（在其定義域內）逐漸靠近某個值$c$時，函數值$f(x)$的變化趨勢。上一節中，我們這樣描述函數在一點的極限：如果當$x$足夠接近$c$時，函數值$f(x)$就會任意接近某個數值$L$，那麼就說$L$是$f(x)$在$x$趨於$c$時的極限。與數列的極限一樣，這種定義需要用數學的語言進一步明確其中各個部分的含義。我們仍然使用柯西的方法，稱為$\delta -\varepsilon$定義：

定義：
設$c$是一個實數，${\mathit {O}}$是一個實數的集合。如果存在正實數$s$，使得區間$(c-s,c+s)\subset {\mathit {O}}$，就稱${\mathit {O}}$是$c$的一個鄰域。如果存在正實數$s$，使得$(c-s,c)\cup (c,c+s)\subset {\mathit {O}}$，就稱${\mathit {O}}$是$c$的一個去心鄰域。給定一個正實數$r$，如果一個（去心）鄰域${\mathit {O}}$滿足${\mathit {O}}\subset [c-r,c+r]$，就稱${\mathit {O}}$是一個$r-$（去心）鄰域，記為${\mathit {O}}_{r}$。

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數。$L$是一個給定的實數。$c$是一個實數，並且函數$f$在$c$的某個去心鄰域上有定義。如果對任意的正實數$\varepsilon$，都存在一個正實數$\delta$，使得對任意的實數$x$，只要$f$在點$x$處有定義，並且$x$在$c$的某個$\delta -$（去心）鄰域中（即$\vert x-c\vert \leqslant \delta$），就有$\vert f(x)-L\vert \leqslant \varepsilon$，那麼就稱$L$是函數$f$在$x$趨於$c$時的極限，或簡稱$L$為$f$在$c$的極限，記為 $\lim _{x\to c}f(x)=L$。反之則稱$L$不是$f$在$x$趨於$c$時的極限。

通過這個定義，我們可以證明上一節中$f(x)=x^{2}$在$x$趨於$2$時的極限是$4$。

證明：

函數$f(x)=x^{2}$在整個實數軸$\mathbb {R}$上有定義，所以一定在$2$的某個去心鄰域上有定義。對任意的正實數$\varepsilon$，取正實數$\delta$為${\frac {\varepsilon }{5}}$和$1$當中的較小者：$\delta =\min\{{\frac {\varepsilon }{5}},1\}$。則對任意的實數$x$，只要$\vert x-2\vert \leqslant \delta$，就有

$\vert f(x)-4\vert =\vert x^{2}-4\vert =\vert x-2\vert \cdot \vert x+2\vert .$

然而按$\delta$的定義，$\vert x-2\vert \leqslant {\frac {\varepsilon }{5}}$；另一方面，由於$\vert x-2\vert \leqslant 1$，所以$x$介於1和3之間，$\vert x+2\vert \leqslant 5$。所以

$\vert f(x)-4\vert \leqslant {\frac {\varepsilon }{5}}\cdot 5=\varepsilon .$

因此$4$是$f$在$x$趨於$2$時的極限。

單邊極限

上面我們嚴格地定義了一個函數在某一點的極限。在定義里，我們並沒有要求函數要在這一點上有定義。事實上，有時候函數不一定在所有足夠接近一點的點上都有定義。比如，令函數$f(x)={\sqrt {x-2}}$，可以證明，在$x$大於$2$並趨於$2$時的$f(x)$趨於$0$，但它在$x<2$時沒有定義。對於這種函數值在「一邊」有定義的情況，我們可以更加詳細地定義單邊的極限：

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數。$L$是一個給定的實數。$c$是一個實數，並且函數$f$在$c$的某個去心鄰域${\mathit {O}}$的左（右）側：${\mathit {O}}_{-}={\mathit {O}}\cap \{x<c\}$（${\mathit {O}}_{+}={\mathit {O}}\cap \{x>c\}$）上有定義。如果對任意的正實數$\varepsilon$，都存在一個正實數$\delta$，使得對任意的實數$x<c$（$x>c$），只要$\vert x-c\vert \leqslant \delta$，就有$\vert f(x)-L\vert \leqslant \varepsilon .$那麼就稱$L$是函數$f$在$x$趨於$c$時的左（右）極限，記為 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=L$（$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$）。反之則稱$L$不是$f$在$x$趨於$c$時的左（右）極限。

在這個定義下，我們可以說$f(x)={\sqrt {x-2}}$在$x$趨於$2$時的右極限是$0$。函數在趨於$c$時的極限存在，等價於說左、右極限都存在並相等。不過有時即使函數在趨於某點時的左右極限存在，也可以不相等。這時候函數在這一點沒有極限。

在無窮遠處的極限

函數在某一點的極限可以描述自變量趨於這一點的時候函數值的變化趨勢，對於定義域包括實數軸的某一側（或兩側）的函數，可以探討它在自變量充分大（或充分小）時候的變化趨勢。我們可以像前面一樣定義函數在無窮遠處的極限：

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數，並在某個開區間$\{x>A\}$（或$\{x<A\}$）上有定義。$L$是一個給定的實數。如果對任意的正實數$\varepsilon$，都存在一個正實數$M$，使得對任意的實數$x$，只要$x\geqslant M$（或$x\leqslant -M$），就有$\vert f(x)-L\vert \leqslant \varepsilon .$那麼就稱$L$是函數$f$在$x$趨於正無窮大（負無窮大）時的極限，或簡稱$L$為$f$在正無窮（負無窮）處的極限，記為 $\lim _{x\to +\infty }f(x)=L$（$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$）。反之則稱$L$不是$f$在$x$趨於正無窮大（負無窮大）時的極限。

趨向無窮的極限

以上的定義中，數列或函數的變化趨勢都可以用某個確定的數值來刻畫。但有時候，函數或數列的變化趨勢並不是接近某一個確定的數，而是變得越來越大（或越來越小）。這時候我們稱函數或數列趨向正無窮大或負無窮大，相應的定義為：

定義：
設$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$是一個給定的實數數列。如果對任意的正實數$M$，都存在一個自然數$N$，使得對任意的自然數$n$，只要$n\geqslant N$，就有$a_{n}>M$（$a_{n}<-M$），那麼就稱數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$趨於正無窮大（負無窮大），或者說數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限是正無窮大（負無窮大）記為$\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$（$\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$）。

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數。$c$是一個實數，並且函數$f$在$c$的某個去心鄰域上有定義。如果對任意的正實數$M$，都存在一個正實數$\delta$，使得對任意的實數$x$，只要$\vert x-c\vert \leqslant \delta$，就有$f(x)\geqslant M$（$f(x)\leqslant -M$），那麼就稱函數$f$在$x$趨於$c$時趨向正無窮大（負無窮大），或稱$f$在$x$的極限是正無窮大（負無窮大），記為 $\lim _{x\to c}f(x)=+\infty$（$\lim _{x\to c}f(x)=-\infty$）。

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數。$c$是一個實數，並且函數$f$在$c$的某個去心鄰域${\mathit {O}}$的左（右）側：${\mathit {O}}_{-}={\mathit {O}}\cap \{x<c\}$（${\mathit {O}}_{+}={\mathit {O}}\cap \{x>c\}$）上有定義。如果對任意的正實數$M$，都存在一個正實數$\delta$，使得對任意的實數$x<c$（$x>c$），只要$\vert x-c\vert \leqslant \delta$，就有$f(x)\geqslant M$（$f(x)\leqslant -M$）那麼就稱函數$f$在$x$從左（右）側趨於$c$時趨於正無窮大（負無窮大），記為 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=+\infty$或$\lim _{x\to c^{-}}f(x)=-\infty$（$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=+\infty$或$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=-\infty$）。

定義：
設$f:\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一個定義在實數上的函數，並在某個開區間$\{x>A\}$（或$\{x<A\}$）上有定義。$L$是一個給定的實數。如果對任意的正實數$M$，都存在一個正實數$M^{'}$，使得對任意的實數$x$，只要$x\geqslant M^{'}$（或$x\leqslant -M^{'}$），就有$f(x)\geqslant M$（$f(x)\leqslant -M$），那麼就稱$L$是函數$f$在$x$趨於正無窮大（負無窮大）時趨於正無窮大（負無窮大），記為 $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$或$\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$（$\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty$或$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$）。

要注意的是，「$L$為$f$在正無窮（負無窮）處的極限」、「趨於正無窮大（負無窮大）」、「極限是正無窮大（負無窮大）」並不表示正無窮（負無窮）是實數軸上的某個點或某個具體的數值。有關無窮小和無窮大的含義，請見下一節「極限的性質」。

評論

在極限的嚴格定義中，有幾點是需要注意的：

1. 如上一節中指出的，無論是數列的極限，還是函數的極限，都是一個獨立於數列和函數的數值。某個數列的極限或某個函數在某點（或在無窮大）的極限為$L$，並不表示它們在趨近的時候會「到達」$L$或者在「經過無窮步之後到達$L$」。有時會將極限「生動地」表述為：

   當$x\rightarrow c$時，$f(x)\rightarrow L$，或者

   $a_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}L$

   但這並不表示極限一定對應着一個時間上動態的「取極限」過程。極限的定義只是描述一個與數列和函數有關的靜態性質，而不涉及時間上「無限趨近於某個點的動態過程」或「某個無限過程的完成式」等等。

2. 極限的定義中使用了絕對值，也就是一維歐幾里得空間中的一種距離：$d:(x,y)\mapsto |x-y|$作為衡量兩點之間「遠近」的方法。事實上可以定義其他的距離，比如$d^{*}:(x,y)\mapsto 2|x-y|$。但使用這些距離的極限定義都是等價的。這是因為有限維向量空間中的範數都是相互等價的，從而誘導出的拓撲結構也是等價的。
3. 極限的定義中使用了「只要……就有……」這樣的自然邏輯句式，這是為了便於閱讀，事實上可以將極限的定義完全用邏輯表達式表示，比如數列的極限定義可以表示為：

   $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n\geqslant N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert <\varepsilon \right).$

4. 極限的定義中，有的地方用了嚴格不等號，有的地方用寬鬆的不等號。事實上有時候可以將兩者調換，而不會影響定義。比如上面數列定義中的$n\geqslant N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert <\varepsilon$部分，裡面的小於號可以改成小於等於號，大於等於號可以改為大於號。也就是說以下四個版本都是等價的。

   $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n\geqslant N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert <\varepsilon \right).$

   $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n\geqslant N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert \leqslant \varepsilon \right).$

   $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n>N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert <\varepsilon \right).$

   $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L\iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\left(n>N\ \Longrightarrow \vert a_{n}-L\vert \leqslant \varepsilon \right).$

   但最前面$\varepsilon$（和$\delta$）必須嚴格大於0，不能改成大於等於0。

5. 數列可以看做是定義在自然數集合$\mathbb {N}$上的函數，所以數列的極限可以看做是一個定義在$\mathbb {N}$上的函數在無窮大處的極限。