高等数学

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本书定位于普通基础教育，若希望有更深层次的了解，请参阅维基教科书中专业书籍，如：几何学，代数学，集合论等

如果您想要自学，请参考《高等数学(第七版)》（同济大学数学系编，高等教育出版社）

序

在中国大陆本专科院校的理工类院系还有部分经济类院系，都会把一门叫做高等数学的基础课程作为其他课程的先继课程来安排。总的来说，这里所说的高等数学，指的是在大学阶段其他某些学科所要用到的基础数学知识，并没有一个具体的划线，规定什么属于高等数学，什么不属于高等数学，在这里，我们把比较流行的教材加以总结整理整并试图以平易近人的方式向读者娓娓道来并期待改进。

数学

数学，就是现实的规律。现实如同游戏，所以，反映现实的数学，也就如同游戏。只不过这个游戏是不可能玩到头的，而且，想玩儿好这个游戏，需要异常专注。 当今的数学的很多内容都很是抽象，用一个简单的符号表征一个准确的意思，但是不同角度不同方面的意思太多了，这直接导致数学的符号异常繁杂，这对于熟悉那些符号的个体而言，清晰明了准确恰好，用着方便看着舒心，但这对于不熟悉的个体而言，总是灾难性的，要花很多时间来熟悉。

函数、极限与导数

集合

高等数学中的集合，顾名思义即可。比如挂着的那些堆衣服，有几个袜子，有件衬衫，还有床单，这些就可以是个集合：晾衣绳上衣服的集合。不过这有些广义。数学是对现实规律的思考。

而思考现实规律，就要一定程度上的无视一些特征，重视另一些特征---就像晾衣绳上的衣服，我只考虑有几个，具体哪个衣服上有几个扣子床单上的蓝格子有多少个我都不关心，晾衣绳某些位置上挂的我看不到也不知道的那些细小纤维什么的我也不关系，我只管有多少件我注意得到的衣服（无视了一些特征）；与此同时我一定不会糊涂到把两件衣服认为是一个，尽管袜子比床单小很多而且袜子要一对一对穿，但是这里我还是把一只袜子认为就是一件衣服，尽管小了点儿（重视了另一些特征）。这里无视的特征是我暂时用不上的我不必加以考虑的，重视的特征是我所要考虑的。就像同样一群高矮胖瘦的个体们（没有特别尤其非常极端不可接受地胖的个体），如果坐客车，那只需考虑几个个体不需要考虑体重，但是如果走颤颤巍巍的峡谷中的脆弱的小草绳桥，那不考虑体重恐怕危险。随之而来还有一个概念：如果把上述坐客车或者过草绳桥的那群个体看做一个集合，那么，其中每一个个体，就可以被称作该集合的元素。简称元素。请注意，每次提到元素（当然不是指化学上或者哪里的，这里指数学上的），就一定是集合中的元素，一定是某特定集合（已知或者未知）中的元素。

数学是对现实规律的思考，思考的对象一般都可以认为是集合中的元素。这里集合中的元素，反映的是你所思考的方面的特征。 随之而来的另一些基础性概念就非常简单但是必要了。

但是，集合和元素的概念，可一定不是死死的。可以把“晾衣绳上的衣服”，“地上的杂物”，“电脑机箱中的各类零件”等等看做是“我当前所居住的屋子里的所有东西”的元素，而这些（集合的）元素本身，也是个集合。这是一个集合，并且是一个很好的集合！

函数

函数，英文function，可以认为就是“关系”的意思，表示一种对应关系。按照逻辑上的复杂程度可以大致分为单值函数和多值函数，其中，多值函数一般不在高等数学的范围里，高等数学里主要考虑单值函数。下面也只讨论单值函数（注意，下面只讨论实数域单值函数，更多的详见专业教材！）。

请千万别认为函数是多么复杂的，或者多么简单的。函数在高等数学中的主要意义，就是反映了一个从A到B的关系，而函数的表达式等等，就表达了那个关系的具体细节（当然，这些都要在一定范围内：比如要在定义域内）。打个比方来说，比如一堆电线（这个电线是指常规的电线），电线都有两端，多么乱麻的一堆电线，你抓住一端，就一定能找到另一端，至于中间纠缠成什么德行，那就是那个关系的自身属性了。而如果有了这个关系---这个关系大致可以认为是个规律，对吧？找到规律了，就可以加以分析，可以通过这个规律得到想要的信息，知道了这个信息，就可以知道怎么从容应对。

比如函数$f(x)=x^{2}$表达的是一种关系，在这种关系下，2会变成4，而12会变成144，即2→4，12→144. 依次类推，所有的实数都会变成它自己的平方.

单值函数，顾名思义（当然，高等数学里有很多不可以顾名思义的丑陋的专有名词，请花些时间熟悉，别让那些用了很久的不方便顾名思义的名词成为你的障碍），就是单值的---就比如，假如某个单值函数是从线段$A$，到线段$B$，的一个映射，表示了线段$A$线段$B$的一个关系，那么，$A$上每一个点都对应了$B$上唯一点，$B$上每一个点都有$A$上的点与之相对应。就像$y=x+1$，（$1.5<x<2.5$），一点五和二点五以内的每一个点（但不包括1.5和2.5），都有一个$Y$值相对应.

在函数不是非常复杂，换句话讲，非常简单的时候，就像$y=x+1$，这个表达式就足够反应信息了，但是对于某些稍微复杂写的，比如$y=3x^{2}+47x-11(x\in (2,7])$，（这表示$x$取值在2和7之间，不包括2但是包括7），这个恐怕就不是一些不熟练的个体一眼能看出规律来的，而对于$y=\exp \left(\sin x+\tan x\right),x\in (e,\pi )$恐怕对于初学者来说就会更加眼晕了。在这里解释下$\exp$，初学者可能不清楚，$\exp(5)$就表示$e$的五次方（如果不清楚$e$是什么，请自行搜索），但是在表达式不是很简单的时候，直接想普通的指数那样写会非常容易混淆，所以用$\exp$表示.

实数

能在数轴上找到相对应的点的数，包括有理数与无理数. 今后在研究的函数，默认都以实数集为定义域.

区间

用于表示两个数之间的范围.

实数的绝对值

一个实数的绝对值，代表该数到原点的距离。用符号| |表示，例如数a的绝对值记为：$\left|a\right|$，-3的绝对值则为$\left|-3\right|=3$.

复数的绝对值

一个复数的绝对值表示该复数在复平面上所对应的点与原点的距离，对于任意一复数z，有z=ai+b(a，b是实数，i是虚数单位)，它的绝对值为(a²+b²)^0.5。

常数与变数

常数为固定的数，变数则是随著定义域的值而改变的数.

函数概念

数学中的一种对应关系，是从非空集合$A$到实数集$B$的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设$X$是一个非空集合，$Y$是非空数集，$f$是个对应法则 ， 若对$X$中的每个$x$，按对应法则$f$，使$Y$中存在唯一的一个元素$y$与之对应 ，就称对应法则$f$是$X$上的一个函数，记作$y=f(x)$，称$X$为函数$f(x)$的定义域，集合$\left\{y|y=f(x),x\in X\right\}$为其值域（值域是$Y$的子集），$x$叫做自变数，$y$叫做因变数，习惯上也说$y$是$x$的函数。 若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数.

函数的表示法

表格法、图像法，解析法

函数的几种特性

• 有界性
• 单调性
• 奇偶性
• 周期性

反函数

对于函数$y=f(x)$,我们将$x=f^{-1}(y)$称为函数$y=f(x)$的反函数.

基本初等函数

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数.

复合函数·初等函数

初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，有的书上还包括常数函数.

极限

极限概念是高等数学最基本的概念，因为数学分析的其他基本概念可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法)都可以用极限运算来描述。 极限概念是求某些实际问题的精确解答而产生的。我国古代数学家刘徽(第三世纪)利用圆内接多边形来推算圆的面积的割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至少不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 参见极限专栏

函数的连续性

参见函数的连续性专栏

在一个点处连续

定义：如$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$，则函数$f(x)$在点$x=a$处连续。

当然，为了让等式有意义，等号两边的式子必须是有意义的。亦即，判断一个函数的连续性可以从以下三点入手：

1. 左右极限存在（并且有限，不能为无穷大）
2. $f(a)$存在（函数在点$x=a$处有定义）
3. 左右极限相等，即$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\lim _{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$

在一个区间上连续

将函数在单点处连续的定义扩展一下，就可以得到函数在区间上连续的定义。

如果函数在该区间内每一点都连续，那么它在区间$(a,b)$上连续。

请注意，对于开区间来说，函数$f(x)$没必要在端点$x=a$, $x=b$处连续。

闭区间的处理则要复杂些。对于区间$[a,b]$来说，我们要解决函数在端点处的连续问题。事实上，函数没必要在端点处连续，只要在朝着区间内部方向连续就可以了。

让我们来定义一下左连续和右连续。

如果$\lim _{x\to a^{+}}f(x)$存在（且有限)，$f(a)$存在，并且这两个量相等，即$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$，就说函数$f(x)$在$x=a$处右连续。

左连续的定义与此类似。

如果我们说函数$f$在$[a,b]$上连续，就意味着：

1. 函数$f(x)$在$(a,b)$中的每一点都连续
2. 函数$f(x)$在$x=a$处右连续
3. 函数$f(x)$在$x=b$处左连续

最后，如果函数在其定义域上连续，我们就说他是连续的。

连续函数的例子

多项式都是连续函数。

三角函数在定义域内连续。

零点定理

定义：如函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，并且，$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么，在区间$(a,b)$上至少有一点$c$，使得$f(c)=0$。如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，结论也成立。

这个定理可以用来判定方程是否有解，也可以确定解的范围。

举个例子：让我们证明任意的奇次多项式至少有一个根。

设$p(x)$为任意多项式，则其在取一绝对值足够大的负值时函数值一定与最高次项系数符号相反，且其在取一足够大的正值时函数值一定与最高次项系数符号相同。故由介值定理得证。

函数的微分

函数的积分

不定积分

不定积分的本质是一个函数簇。

定积分

定积分的本质是一个极限。

空间解析几何

空间直角坐标系

过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则,即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以π/2角度,转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正方向

两点间的距离

d=|M₁M₂|=|M₁N|²+|NM₂|²

$|M_{1}M_{2}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

微分方程

微分方程： 微分方程和求函数的导函数类似，

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高等数学/同济大学数学系编.高等教育出版社 高等教育出版社