多项式公比求和,多项式乘上等比数列的求和,即
公比q等于1时就只是多项式求和。
特殊情况
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求和方法
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错位相减法
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设 ,乘上公比得到
每一次错位相减会对多项式进行一次差分,一个m阶多项式进行差分后是m-1阶多项式,所以可以在有限步内用错位相减法求出多项式公比求和。[1]
逐项求导
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设
两边对q求导:
由此可以递推出m阶多项式的多项式公比求和。[2]
对数列做裂项:
其中若 是m阶多项式,则 是m阶多项式, 用待定系数法求出来。[3]
差分算子公式
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[4]
- 其中
无穷级数
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级数 在 时是收敛的。
多重对数函数
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所以这个级数可以表达成多重对数函数:
等比级数
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两边逐项求导,得到:
求m次导,得到:
参考资料
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