逻辑通路/余弦定理

“毕氏定理”描述的是有关“直角三角形”三边长的特殊关系，但一般的三角形的三边长与三内角之间也有一个重要的性质，那就是“余弦定理”。

假设三角形中， 某两边的边长为 a 、 b，夹角为 $\theta$，第三边的边长为 c 则 $\displaystyle {c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }$

我想，在正式证明这个定理前，先讲几个如何计算的例子，应该会对理解这个定理有所帮助。

范例

锐角的情况

如果有两边长分别为 2、3，夹角为 60°，那么我们要怎么计算第三边呢？

设第三边长度为$c$，依余弦定理，将$\displaystyle {a=2,b=3}$以及$\displaystyle {\theta =60}$°代入

$\displaystyle {c^{2}=2^{2}+3^{2}-2\times 2\times 3\cos 60^{\circ }}$
$\displaystyle {c^{2}=13-2\times 2\times 3\times {\frac {1}{2}}}$
$\displaystyle {c^{2}=13-2\times 3}$
$\displaystyle {c^{2}=7}$
$\displaystyle {c={\sqrt {7}}}$
第三边长度为$\displaystyle {\sqrt {7}}$。

参考资料

• 维基百科的“余弦定理”