高中数学/必修五/第二章

2.1 数列的概念与简单表示法 编辑

按照一定的顺序排列的一列数叫做数列(Sequence of number),数列中的每个数叫做这个数列的,数列中的每一个数都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常叫做首项),排在第二位的数叫做数列的第二项……以此类推,排在第n位的数叫做这个数列的第n项。所以,数列的一般形式可以写成

 

 
图2-1-1

简记为 。其中,项目有限的数列叫做有穷数列,而项目无穷的数列则称之为无穷数列

数列可以看成正整数集N*(或其有限子集)为定义域的函数 ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对的一列函数值,如图2-1-1所示。反过来,对于函数 ,如果 ( )有意义,那么我们可以得到一个数列:

 

如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以通过一个算式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。我们可以通过这个公式计算出数列的各个项。

2.2 等差数列 编辑

一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示.

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看作最简单的等差数列,此时,A叫做a和b的等差中项(arithmetic mean)。

一般的,如果等差数列 的首项是 ,公差是 ,根据等差数列的定义,可以得到

 

所以

 

 

 

…………

由此可得等差数列的通项公式

 

2.3 等差数列的前n项和 编辑

首先,引入一个小故事.

200多年前,高斯的数学老师提出了下面的问题: 

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法算出了正确答案:

 

一般的,我们称 为数列 的前n项和,即 

由高斯算法的启示,对于公差为 的等差数列,我们用两种方法表示Sn:

  ......①

 ......②

由①+②得到: 一共有n个

由此得到等差数列的前n项和的公式

 

如果代入等差数列的通项公式  也可以用首项 和公差 表示,即:

 

2.4 等比数列 编辑

再引入一个实例:

1.细胞分裂的个数可以组成下面的数列: 

2.一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒成为第二轮,以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是: 

可以看到,这些数列都有一个特点:从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数。

一般的如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么称这个数列为等比数列(geometric sequence),这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母 表示( )。

与等差数列的概念类似,如果在a,b中间插入一个数G,那么G叫做a和b的等比中项。

下面我们来研究等比数列的通项公式。

通过上面两个实例,类比等差数列的推导过程,可以得到等比数列的通项公式:

 

2.5 等比数列的前n项和 编辑

国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者,问他想要什么。发明者说:“请在棋盘的第一个格子里放一粒麦粒,第二个格子里放上两颗麦粒,第三个格子里放上四颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的二倍,直到第64个格子,请满足我的要求。”国王认为这个要求不高,就同意了。如果1000粒麦子的质量是40g,根据调查,目前世界小麦年产量为6亿吨。根据以上数据判断国王能否实现它的诺言。

我们分析一下,如果把各个格所放的麦粒看做一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。

一般的,对于等比数列 ,它的前n项的和是

 

根据等比数列的通项公式,上面的式子可以写成

 …………①

我们发现,如果用公比q乘①的两边,可以得到:

 …………②

①、②的右边有很多相同的项,用①分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得 

 时,等比数列前n项和的公式为

 

因为 ,所以上面的公式还可以写成

 

有了上述公式,就可以解决本节开头提出的问题。由 ,可得

 

这个数很大,超过了1.84×1019,估计一千粒麦子的质量约为40克,那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨,因此,国王根本不能实现它的诺言。

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