自然科学/冲量 动量

冲量

给一个质量为$m$的物体施加一个力${\boldsymbol {F}}$，那么这个力的作用效果跟力的大小、方向、作用时间均有关系。现在假设力的方向为水平上的某方向且保持不变，且物体在时间$t_{0}=0$时刻具有速度${\boldsymbol {v_{0}}}$。

经过$t$的时间的$t_{1}=t$时刻，根据牛顿第二定律，我们可以计算出物体此时的运动速度

$${\boldsymbol {v_{1}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {F}}t/m$$

我们将两端同时乘以$m$并作适当的移项，可以得到

$${\boldsymbol {F}}t=m({\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}})$$

我们知道，两个时刻的速度之差为物体在这段时间内速度的变化量，我们用$\Delta {\boldsymbol {v}}$来代替$({\boldsymbol {v_{1}}}-{\boldsymbol {v_{0}}})$得

$${\boldsymbol {F}}t=m\Delta {\boldsymbol {v}}$$

从上式中，我们可以看出，质量一定的物体，速度的改变量只与受到的力和该力作用的时间有关。因此，对我我们来说，力和力的作用时间是一个有研究意义的量，现在我们将它定义为一个新的物理量——冲量，一般用字母${\boldsymbol {I}}$表示，即

$${\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {F}}t$$

容易知道，冲量是矢量。

冲量的计算

我们容易证明在任意时间段$t$内，合力${\boldsymbol {F}}$的冲量${\boldsymbol {I}}$等于各个分力${\boldsymbol {F_{n}}}$的冲量${\boldsymbol {I_{n}}}$之和，即

$${\boldsymbol {I}}=\sum {\boldsymbol {I_{n}}}$$

对于一个变力${\boldsymbol {F}}$，我们假设时间段$T_{0}$时刻至$T_{n}$时刻内各个时间段$t_{1},t_{2},...,t_{n}(t_{i}=T_{i+1}-T_{i},T_{i}<T_{i+1})$内力均保持恒定，分别为${\boldsymbol {F_{1}}},{\boldsymbol {F_{2}}},...,{\boldsymbol {F_{n}}}$，则变力${\boldsymbol {F}}$在$t=T_{n}-T_{0}$的总冲量为各个${\boldsymbol {F}}$保持恒定的时间段内的冲量之和。

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {I}}&=\sum {\boldsymbol {I_{n}}}\\&=\sum {\boldsymbol {F_{i}}}t_{i}\\\end{aligned}}$$

简单地讲，就是计算变力的冲量，可以将变力分为多个时间段内的恒力分别计算冲量再求和。

倘若变力${\boldsymbol {F}}$随着时间不断变化，那么我们可以考虑使用微元法或微积分计算某个时间段内的冲量。

动量

在某个参考系下，物体质量和速度的乘积，称为物体在该参考系下的动量，即

$${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$$

显然动量是矢量，并且物体的动量和参考系的选择有关。

动量，是一个人为定义的物理量，和动能一样，我们定义了一个新的物理量从另一个角度来描述物体运动的特性。动量是解决碰撞过程有关问题的良好的工具。同时由于动量和速度成正比，计算量远小于动能，因此解决问题时使用动量可以化简计算。我们即将解释动量和冲量的关系。

冲量和动量的关系

假设质量为$m$物体在$t_{0}=0$时刻速度为${\boldsymbol {v_{0}}}$，在$t_{0}$到$t_{1}=t$之间，物体受到的合外力恒定且为${\boldsymbol {F}}$，那么由牛顿第二定律，我们可以计算出物体在$t_{1}$时刻的速度

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v_{1}}}&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}t\\&={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {{\boldsymbol {F}}t}{m}}\\\end{aligned}}$$

将${\boldsymbol {v_{0}}}$移动到等式左边，然后两边同时乘以$m$得

$$m{\boldsymbol {v_{1}}}-m{\boldsymbol {v_{0}}}={\boldsymbol {F}}t$$

等式左边为物体在这段时间内的动量变化量，等式右边为物体受到的合力的冲量，我们用相应的字幕代替上式的左右端则有

$$\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {I}}$$

对于变力，我们可以将它分解为多个时间段内的恒力，而对于那些不断变化的力，我们总是可以将它看作很多个微小时间段内的恒力，因此同样有以上结论：（在一定参考系下）一定时间内，物体的动量改变量等于其合力的冲量。这个结论叫做动量定理。