微积分学/积分审敛法

积分审敛法

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积分审敛法

设级数 ,若 在区间 上连续递减,则

  1.  收敛,则 收敛
  2.  发散,则 发散

积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。

 

如图,曲线为 的图像,各矩形面积之和为 ,显然 小于 ,因此若 收敛,则 收敛。

 

如图,曲线为 的图像,各矩形面积之和为 ,显然 大于 ,因此若 发散,则 发散。

对以下级数运用积分审敛法

 

解答

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反常积分得 为1,收敛,故级数收敛。

对以下级数运用积分审敛法

 

解答

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 不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。

对以下级数运用积分审敛法

 

解答

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 只在 递减,因此级数可改写为 ,对后一项反常积分得  ,收敛,故级数收敛。