求和符号使求和的表达式更简单紧凑。大写的希腊字母Σ被用来表示一组数字的总和。
设f{\displaystyle f}为函数,M,N{\displaystyle M,N}为整数且N<M{\displaystyle N<M},则 ∑i=NMf(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+⋯+f(M){\displaystyle \sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)}称N{\displaystyle N}为下极限,M{\displaystyle M}为上极限。
设f{\displaystyle f}为函数,M,N{\displaystyle M,N}为整数且N<M{\displaystyle N<M},则
称N{\displaystyle N}为下极限,M{\displaystyle M}为上极限。
i{\displaystyle i}也可以用别的字母代替,因此,我们称i{\displaystyle i}为虚拟变量。所以
通常我们使用字母i{\displaystyle i}, j{\displaystyle j} , k{\displaystyle k}, m{\displaystyle m}表示虚拟变量。
本例中,虚拟变量为i{\displaystyle i},下极限为1,上极限为5。
有时式中没有虚拟变量,比如说
此时虚拟变量可从上下文得知。
∑i=1nc=c+c+⋯+c=nc , c∈R{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R} }
∑i=1ni=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}
∑i=1ni2=12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑i=1ni3=13+23+33+⋯+n3=(∑i=1ni)2=(n(n+1)2)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}
∑i=1∞ai=limt→∞[∑i=1tai]{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]}
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