國中數學/國中數學七年級/2-1 質因數分解

 1-5 其他的數 國中數學七年級
2-1 質因數分解
2-2 最大公因數與最小公倍數 

本章節將介紹關於分數的運算,不過在此之前,我們首先將介紹質因數分解的概念,然後進入最大公因數與最小公倍數,最後才進行分數運算。

因數與倍數

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在國小學過,如果甲數、乙數與丙數都是整數,而且甲數 乙數 丙數,則我們稱乙數為甲數的因數,甲數為乙數的倍數。又因為當甲數不是 的時候,甲數 乙數 丙數也代表甲數 丙數 乙數,所以丙數也是甲數的因數,甲數也是丙數的倍數。

  • 例如   都是 的因數,  的倍數,也是 的倍數。
  • 簡單來說,滿足除法關係的三個整數中,最大的數較小數倍數。反之,比較小的兩個數最大數因數
  • 因數的英文為factor,倍數的英文為multiple。

這樣的定義可以延伸到負整數上,即如果 為三個任意整數(無論正負)而且滿足 ,則  的倍數,  的因數 。但由於 也代表著 ,故若  的因數時, 也為 的因數,所以在國中的課程當中,如果沒有特別說明,「因數」都是指「正因數」。同理,「倍數」都是指「正倍數」。

    •    都是 的因數,  的倍數,也是 的倍數。
    • 同理   都是 的因數,  的倍數,也是 的倍數。
  • 很顯然的, 的位置不能擺 ,所以 不會是任何整數的因數。
  • 因為 ,所以 是任何整數的因數。
  • 因為 ,所以 是任何非 整數的倍數。
  • 因為 ,所以當 不是 時,  的因數, 也是 的倍數。
  • 因為 代表 ,所以有人也會用乘法的方式說明倍數與因數的關係。

要判斷是否有因數與倍數的關係,我們只需要使用除法即可。

例題 
 請問 是不是 的倍數?

 請問 是不是 的因數?

 計算 ,故  的倍數。

 計算 ,故 不是 的因數。

習題
 判斷 二數是不是 的倍數。[習題解答 1]
 判斷 是不是 的因數。[習題解答 2]

質數與合數

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我們知道任意一個整數 ,它都至少有兩個因數: 和它自己本身。

  1. 如果除此之外 沒有其他因數了,那麼 我們稱為質數[註 1](prime)[註 2]
    • 例如 的因數只有  ,所以 是一個質數。
    • 以下列出 以內的 個質數: ,質數當中只有一個偶數 ,因為除了 以外,其他偶數都有額外多一個 這個因數。質數當中末位數字是 的也只有 一個,因為除了 以外,末位數字是 的整數就必然會有 這個額外的因數。
  2. 如果除此之外 還有其他因數,那麼 我們稱為合數[註 3](composite number)。
    • 例如 的因數除了  之外還有 ,所以 是一個合數。
    • 常常會被誤判成質數的合數: 
  3.  既不是質數也不是合數。
  4. 埃拉托斯特尼篩法[註 4]為一種找出質數的方法。
例題 :民國99年第二次基測第2題
下列選項中表示的數,哪一個是質數?

 

質數只有兩個因數 和自己本身,也就是說質數只能有一種乘法分解的形式: 它自己。故 錯誤。

 為合數, 為質數,故選 

習題
下列四個數,哪一個不是質數?(96.第一次基測第7題)[習題解答 3]
 

質因數分解與標準分解式

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質因數

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當一個正整數 既是質數,也是正整數 的因數,則我們稱  質因數
例如: 的因數有 ,其中 都是質數,故  的質因數。
習題
 請列出所有 的因數。[習題解答 4]
  的質因數有哪些?[習題解答 5]

質因數分解

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國小學過使用短除法將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下:
1.如果 是質數則不用做以下的事情。
2.找出正整數 的質因數 ,並計算 的結果,在 周圍畫出「L」,並將質因數 放置在「L」左邊,計算出來的商放置在「L」下層。

  •  做例子:
  •  的質因數有一個是 ,所以先用 ,而 ,所以寫法是:
  •  

3.如果上一步的結果為質數,那麼就結束;如果不是,就一直重複第2個步驟。

  •  做例子:
  • 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
  •  
  • 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
  •  
  • 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
  •  
  • 因為 是質數所以結束了。

4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成質因數分解

  •  為例, 

標準分解式

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1-4 指數記法與科學記號單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將 的質因數分解表示成質因數由小到大排列且寫成質因數次方的形式,我們稱這樣的式子為 標準分解式

  •  為例,  稱為 的標準分解式。

倍數判別法

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在上面的說明當中,找出一個整數的質因數是相當難的事情。如 的質因數是多少?或是RSA-155 的質因數分解為何?
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數 的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法,可以參考整除規則

質數 倍數判別法 例子
 
末位數字為 
  的倍數。[註 5]
 
各位數字和為 的倍數。
  的倍數,因為   的倍數。[註 6]
 
末位數字為 
  的倍數。
 
個位數字為第 位,十位數字為第 位,百位數字為第 位,……,依此類推,

奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為  的倍數。
  的倍數,因為奇數位數字和為 ,偶數位數字和為   的倍數。[註 7]

註解

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  1. 質數也稱作「素數」。
  2. 質數的維基百科資料:質數:維基百科
  3. 合數就是「合成數」。
  4. 維基百科:厄拉托西尼
  5. 0是偶數嗎?
  6. 有些人會主張最後的結果要是一位數,這個結果稱為數字的數根,在這個例子 的數根為 。所以有另外一個說法為數根為 的整數都是 的倍數。
  7. 可以用大的減小的避免負數的情形。

習題解答

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  1.  是, 不是。
  2. 是。
  3.  
  4.  
  5.