本章節將介紹關於分數的運算,不過在此之前,我們首先將介紹質因數分解的概念,然後進入最大公因數與最小公倍數,最後才進行分數運算。
在國小學過,如果甲數、乙數與丙數都是整數,而且甲數 乙數 丙數,則我們稱乙數為甲數的因數,甲數為乙數的倍數。又因為當甲數不是 的時候,甲數 乙數 丙數也代表甲數 丙數 乙數,所以丙數也是甲數的因數,甲數也是丙數的倍數。
- 例如 , 和 都是 的因數, 是 的倍數,也是 的倍數。
- 簡單來說,滿足除法關係的三個整數中,最大的數為較小數的倍數。反之,比較小的兩個數為最大數的因數。
- 因數的英文為factor,倍數的英文為multiple。
這樣的定義可以延伸到負整數上,即如果 為三個任意整數(無論正負)而且滿足 ,則 為 的倍數, 為 的因數
。但由於 也代表著 ,故若 為 的因數時, 也為 的因數,所以在國中的課程當中,如果沒有特別說明,「因數」都是指「正因數」。同理,「倍數」都是指「正倍數」。
- 如 , 和 都是 的因數, 是 的倍數,也是 的倍數。
- 同理 , 和 都是 的因數, 是 的倍數,也是 的倍數。
- 很顯然的, 的位置不能擺 ,所以 不會是任何整數的因數。
- 因為 ,所以 是任何整數的因數。
- 因為 ,所以 是任何非 整數的倍數。
- 因為 ,所以當 不是 時, 是 的因數, 也是 的倍數。
- 因為 代表 ,所以有人也會用乘法的方式說明倍數與因數的關係。
要判斷是否有因數與倍數的關係,我們只需要使用除法即可。
例題 請問 是不是 的倍數?
請問 是不是 的因數?
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習題
判斷 二數是不是 的倍數。[習題解答 1]
判斷 是不是 的因數。[習題解答 2]
我們知道任意一個整數 ,它都至少有兩個因數: 和它自己本身。
- 如果除此之外 沒有其他因數了,那麼 我們稱為質數[註 1](prime)[註 2]。
- 例如 的因數只有 和 ,所以 是一個質數。
- 以下列出 以內的 個質數: ,質數當中只有一個偶數 ,因為除了 以外,其他偶數都有額外多一個 這個因數。質數當中末位數字是 的也只有 一個,因為除了 以外,末位數字是 的整數就必然會有 這個額外的因數。
- 如果除此之外 還有其他因數,那麼 我們稱為合數[註 3](composite number)。
- 例如 的因數除了 和 之外還有 ,所以 是一個合數。
- 常常會被誤判成質數的合數: 。
- 既不是質數也不是合數。
- 埃拉托斯特尼篩法[註 4]為一種找出質數的方法。
例題 :民國99年第二次基測第2題 下列選項中表示的數,哪一個是質數?
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解 質數只有兩個因數 和自己本身,也就是說質數只能有一種乘法分解的形式: 它自己。故 錯誤。
為合數, 為質數,故選 。
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習題
下列四個數,哪一個不是質數?(96.第一次基測第7題)[習題解答 3]
當一個正整數 既是質數,也是正整數 的因數,則我們稱 為 的質因數。
例如: 的因數有 ,其中 都是質數,故 是 的質因數。
習題
請列出所有 的因數。[習題解答 4]
的質因數有哪些?[習題解答 5]
國小學過使用短除法將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下:
1.如果 是質數則不用做以下的事情。
2.找出正整數 的質因數 ,並計算 的結果,在 周圍畫出「L」,並將質因數 放置在「L」左邊,計算出來的商放置在「L」下層。
- 以 做例子:
- 的質因數有一個是 ,所以先用 ,而 ,所以寫法是:
-
3.如果上一步的結果為質數,那麼就結束;如果不是,就一直重複第2個步驟。
- 以 做例子:
- 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
-
- 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
-
- 因為 不是質數所以要繼續, 的質因數有一個是 ,所以用 除,而 ,所以寫法是:
-
- 因為 是質數所以結束了。
4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成質因數分解。
- 以 為例, 。
由1-4 指數記法與科學記號單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將 的質因數分解表示成質因數由小到大排列且寫成質因數次方的形式,我們稱這樣的式子為 的標準分解式。
- 以 為例, , 稱為 的標準分解式。
在上面的說明當中,找出一個整數的質因數是相當難的事情。如 的質因數是多少?或是RSA-155 的質因數分解為何?
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數 的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法,可以參考整除規則。
質數
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倍數判別法
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例子
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末位數字為 。
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是 的倍數。[註 5]
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各位數字和為 的倍數。
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是 的倍數,因為 , 是 的倍數。[註 6]
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末位數字為 。
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是 的倍數。
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個位數字為第 位,十位數字為第 位,百位數字為第 位,……,依此類推,
奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為 或 的倍數。
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是 的倍數,因為奇數位數字和為 ,偶數位數字和為 , 為 的倍數。[註 7]
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- ↑ 質數也稱作「素數」。
- ↑ 質數的維基百科資料:質數:維基百科
- ↑ 合數就是「合成數」。
- ↑ 維基百科:厄拉托西尼
- ↑ 0是偶數嗎?
- ↑ 有些人會主張最後的結果要是一位數,這個結果稱為數字的數根,在這個例子 的數根為 。所以有另外一個說法為數根為 的整數都是 的倍數。
- ↑ 可以用大的減小的避免負數的情形。
- ↑ 是, 不是。
- ↑ 是。
- ↑ 。
- ↑ 。
- ↑ 。