代數/本書課文/求和/多項式公比求和

多项式公比求和，多项式$p(k)$乘上等比数列$q^{k-1}$的求和，即$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$

公比q等于1时就只是多项式求和。

特殊情况

当$p(k)=1$时，是等比数列求和：$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}q^{k-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

当多项式$p(k)$为等差数列时，即一次多项式时，是差比数列求和：$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

求和方法

错位相减法

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设$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，乘上公比得到$qS_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k}$

$(1-q)S_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k}$

每一次错位相减会对多项式进行一次差分，一个m阶多项式进行差分后是m-1阶多项式，所以可以在有限步内用错位相减法求出多项式公比求和。

逐项求导

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设$\displaystyle S(n,m)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}q^{k-1},S(n,0)={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

两边对q求导：$\displaystyle {\frac {d[qS(n,m)]}{dq}}=\sum _{k=1}^{n}k^{m+1}q^{k-1}=S(n,m+1)$

由此可以递推出m阶多项式的多项式公比求和。

裂项法

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对数列做裂项：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^{k}-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m阶多项式，则$f(k)$是m阶多项式，$f(k)$用待定系数法求出来。

差分算子公式

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0),f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)$

其中$\Delta p(n)=p(n+1)-p(n),m=deg(p(k))$

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无穷级数

级数$\sum _{k=1}^{\infty }p(k)q^{k-1}$在$|q|<1$时是收敛的。

多重对数函数

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$

所以这个级数可以表达成多重对数函数：$\sum _{k=1}^{\infty }{k^{m}z^{k}}=\operatorname {Li} _{-m}(z)$

等比级数

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$

两边逐项求导，得到：$\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\quad ,|x|<1.$

求m次导，得到：$\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}^{m}x^{n-m}={\frac {m!}{(1-x)^{m+1}}}\quad ,|x|<1.$