高中数学(版聊式)/第1节:为什么会有导数和积分?

问什么要有导数和积分? 编辑

数学已经很完备了,可是为什么还要有导数和积分呢?大家可以来看下面的内容。

速度、切线 编辑

速度 编辑

在物理中,我们知道:当一个物体做直线运动时,物体在直线上的位置完全由某个函数 确定。

先考虑最简单的情况,物体做匀速直线运动。此时, ,即 。并且对于不同的  的值都是一样的。 可以表示任意时刻的瞬时速度

那么对于非匀速运动的物体呢?怎么理解在 情况下 时刻的瞬时速度呢?

首先我们取时间从  这样一个时间段。那么物体在这一时间段内,有平均速度

 

如果我们将 取得非常靠近 (比如 ),那么我们可以认为物体在如此短的一个时间内做匀速运动。更为精确的说,令 (“→”是趋向的意思。表示左边的量非常非常接近右边的量,几乎等于),那么 时刻的瞬时速度就是

 

其中, 叫做极限符号,表示的是当 的时候。


切线 编辑

圆(椭圆亦可)的切线可以定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但对于其他函数,如 ,显然在 时的切线为直线 ,而它与函数有无数个交点。

通过 和上文速度的例子,我们或许可以吸收一些经验。是不是在一个比较小的范围(一个区间包含切点)内使得这条直线与曲线只有一个交点才是切线呢?(此处存在错误。例如函数  处的切线为 ,而显然在任意包含 的开区间上,  均有无穷多个交点。望编写者修正。)

我们仍旧通过简单的例子来验证。首先圆和椭圆都是满足的。图1也是符合这个定义的。图2也是满足的(注意这一点的切线是存在的)。

File:屏幕快照 2013-06-10 下午5.52.07.png
图1

因此,我们给出如下定义:设有曲线  上两点 。做割线 。当点 随着曲线 趋向于点 时,若割线 趋向一个位置 ,则 为曲线  处的切线。

那么切线的倾斜角的正切,即斜率