高中數學(版聊式)/第1節:為什麼會有導數和積分?
問什麼要有導數和積分?
編輯數學已經很完備了,可是為什麼還要有導數和積分呢?大家可以來看下面的內容。
速度、切線
編輯速度
編輯在物理中,我們知道:當一個物體做直線運動時,物體在直線上的位置完全由某個函數 確定。
先考慮最簡單的情況,物體做勻速直線運動。此時, ,即 。並且對於不同的 , 的值都是一樣的。 可以表示任意時刻的瞬時速度。
那麼對於非勻速運動的物體呢?怎麼理解在 情況下 時刻的瞬時速度呢?
首先我們取時間從 到 這樣一個時間段。那麼物體在這一時間段內,有平均速度
如果我們將 取得非常靠近 (比如 ),那麼我們可以認為物體在如此短的一個時間內做勻速運動。更為精確的說,令 (「→」是趨向的意思。表示左邊的量非常非常接近右邊的量,幾乎等於),那麼 時刻的瞬時速度就是
其中, 叫做極限符號,表示的是當 的時候。
切線
編輯圓(橢圓亦可)的切線可以定義為「與曲線只有一個交點的直線」。但對於其他函數,如 ,顯然在 時的切線為直線 ,而它與函數有無數個交點。
通過 和上文速度的例子,我們或許可以吸收一些經驗。是不是在一個比較小的範圍(一個區間包含切點)內使得這條直線與曲線只有一個交點才是切線呢?(此處存在錯誤。例如函數 在 處的切線為 ,而顯然在任意包含 的開區間上, 與 均有無窮多個交點。望編寫者修正。)
我們仍舊通過簡單的例子來驗證。首先圓和橢圓都是滿足的。圖1也是符合這個定義的。圖2也是滿足的(注意這一點的切線是存在的)。
因此,我們給出如下定義:設有曲線 和 上兩點 。做割線 。當點 隨著曲線 趨向於點 時,若割線 趨向一個位置 ,則 為曲線 在 處的切線。
那麼切線的傾斜角的正切,即斜率