自然科学/万有引力定律

万有引力定律

由于万有引力普遍存在，星系中的恒星绕星系中心周而复始地旋转。

你是否有想过，天体为何能有条不乱地运动？是什么作用使它们周而复始地规律运动？在万有引力已经是常识的今天，这个问题不难回答，但是准确描述这个现象，分析总结这个现象的规律，再到做出合理的假设，是一个相当漫长的过程。时至今日，我们只需要直接告诉你，经典力学认为，任何两个物体之间都存在引力，任何一个物体A受到另一个物体B的引力：

$${\boldsymbol {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {n}}$$其中${\boldsymbol {n}}$为AB方向的单位矢量，$m_{1}$为A的质量，$m_{2}$为B的质量，$r$为AB间的距离，$G$为万有引力常量。

这是一个非常理想化的公式，因为它将任何物体都视为了质点，而没有考虑他们的体积。实际上万有引力的计算相当复杂，因为需要考虑每个点到每个点之间的体积，因此需要用到微积分。考虑到本书的主要目的是科普，我们在这里直接告诉你：根据壳层定理，计算任何两个均匀球体间的万有引力时，均可以将两个球体视为球心处的质点。

如果不考虑向心力，我们可以知道，任何以后在半径为$r$的某个星球表面受到的物体，将万有引力公式中得距离换为半径，即可计算出该物体受到的万有引力。如果这个物体在该星球表面自由下落，那么加速度

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {g}}&={\frac {\boldsymbol {F}}{m}}\\&=G{\frac {m}{r^{2}}}{\boldsymbol {n}}\\\end{aligned}}$$考虑标量的时候，我们将$g=|{\boldsymbol {g}}|$称为该星球的重力加速度。

卡文迪许扭秤实验

扭秤示意图

虽然万有引力定律在1687年就被牛顿提出，但是万有引力常量$G$迟迟没有被实验求出，究其原因不过是能够参加实验的物体间的引力太小，因为实现现象难以观测。在1798年，亨利·卡文迪许通过扭秤试验首次测出万有引力常量。

卡文迪许采用了如图所示的扭秤装置。以后我们会讲到，根据的力矩的平衡，扭$G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$秤对引力的效果的具有放大作用。如图所示，卡文迪许采用硬质杆连接小球，并用绳索来悬挂硬杆，并用大球吸引小球，通过扭秤的转动，来间接测量引力大小。在这里生活经验也可以告诉我们，轻微地触碰小球，也能引起硬杆的大幅度转动。只是，由于要测量的引力实在是太小，扭秤还不足以达到明显的放大效果，因此卡文迪许在悬挂硬质杆的绳索上连接了反光镜，通过然后让光束射向反光镜，同时，反射光指向了另一处标有的刻度，将扭秤的旋转放大为可以直接读出的现象。

卡文迪许巧妙地设计了一个能够将引力二次放大的扭秤测出了万有引力常量$G$，并于1798年在《自然科学会报》上发表了结论。现在，我们用更加精确的方式测出

$$G=\left(6.67408\pm 0.00031\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\cdot {\mbox{kg}}^{-1}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$$这里不得不说一下，万有引力常量即使到了今天，我们的也不能将测定值的精确度提升多高，它依旧只有六位有效数字，相比元电荷、光速这样的常量这个精确度依旧非常低。

万有引力与天体运动规律

我们不得不再次啰嗦一下，经典力学的适用范围是宏观低速运动。由于天体的运动已经脱离了低速运动的范畴，但是还远不及光束，因此经典力学用在天体的运动规律的研究上，精确度确实会有所下降，但是并没有达到不可接受的程度，毕竟在相对论建立前，前辈们也根据牛顿运动定律推算的轨道，发现了海王星。

根据开普勒第二定律，在同样时间间隔内，行星绕着太阳公转所扫过的面积相等。

由于天体运动，例如地球绕太阳公转，轨道很多都接近正圆，因此，我们平时探讨时，很多时候会将天体运动视为匀速圆周运动，但实际上，理论上这个轨迹应该是椭圆。并且除了椭圆外，天体可能做抛物线、双曲线运动。由于此处的推导需要用到大量高等数学知识，因此推导的过程我们准备加入到附录中，在此处我们直接将约翰内斯·开普勒发现的关于行星运动运动的定律直接作为常识告诉读者。

开普勒第一定律

每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律

在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

这条定律可以参看配图，图中两块“扇形”表示太阳与行星的连线在两段相等时间内扫过的区域，根据开普勒第二定律，这两个“扇形”的面积相等。

开普勒第三定律

各个行星绕太阳运动的公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

如果我们将这个行星运动的轨道更理想化一点，将它视作椭圆的特殊情况，也就是圆，那么行星做匀速圆周运动，此时半长轴即为圆的周长，对于这种特殊情况，我们做如下推导。

周期，是指匀速圆周运动的物体，从某一运动状态再次回到该运动状态所经历的时间，通俗地讲，就是运动一周所经过的时间，因此周期

$$T={\frac {s}{v}}={\frac {2\pi r}{v}}={\frac {2\pi }{\omega }}$$假设行星的质量为$m$，恒星的质量为$M$，行星运动的轨道半径为$r$，根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律，有如下标量表达式

$$G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$$

现将$v={\frac {2\pi r}{T}}$带入上式有

$${\begin{aligned}G{\frac {Mm}{r^{2}}}&={\frac {m}{r}}\cdot ({\frac {2\pi r}{T}})^{2}\\&={\frac {4\pi mr}{T^{2}}}\\\end{aligned}}$$整理上式可得

$$T^{2}={\frac {4\pi }{GM}}\cdot r^{3}$$因此有

$$T^{2}\propto r^{3}$$

引力质量 质量

你是否注意到，万有引力公式中，质量参与了运算，这个质量，我们称之为惯性质量。我们再次说明，质量是一个我们捏造的概念，质量可以客观地反应物体的一种本质属性，在这里，我们假定万有引力公式中距离，物体A的质量已经确定，那么物体B受到A的引力大小，仅仅与其质量大小有关。因此，我们发现，任何一个物体B，在其他条件相同情况下，受到同一个物体A的引力，仅仅和物体B的某一个量有关，我们将这个量称为惯性质量。不知道你有没有注意到，物理上测量物体的仪器——天平，利用的就是地球上同一位置，地球对相同质量的物体引力相同，也就是所，天平测的是引力质量。

回想一下我们质量的定义，我们在没有任何情景的情况下，告诉了读者，物体有一个不受外界影响的本质属性，叫做质量。在牛顿第二定律中，我们通过给不同物体同一个合外力，观测不同物体加速度大小，我们认为造成这种加速度大小不同的原因是因为物体的一个本质属性——惯性质量各不相同。现在，我们在万有引力定律中，位置$P_{1}$处的物体A对处于位置$P_{2}$的另一物体B的引力${\boldsymbol {F}}$仅与物体B的一个本质属性有关，也就是引力质量。如果我们用标量表达式表示这两个质量，则惯性质量

$$m_{i}={\frac {F}{a}}$$总是成立，引力质量

$$m_{g}=F_{g}\cdot {\frac {r^{2}}{m}}$$也总是成立。也就是以上两个式子，将符合现象的参数填入，总是成立的，因此确定$m_{i}$与$m_{g}$是物体的本质属性。以目前的观测的精确度来看，对于任何一个物体，这两个属性均成正比，如果我们选取合适的量纲，那么这个两个属性相等。但是，问题在于，没有任何证据表明，它们是同一个属性，也就是所，我们不能将他们统一为质量！到目前为知，物理学没有解释出为什么物体的惯性质量和引力质量相等，通常认为这是一种巧合。

习题

1. 根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律，解释地球表面重力加速度因海拔、纬度不同而不同的原因。
2. 推导：做匀速圆周运动的行星，其线速度为$$v={\sqrt {G{\frac {M}{r}}}}$$其中$M$为它的恒星质量，$r$为其轨道半径。