自然科學/萬有引力定律

萬有引力定律

由於萬有引力普遍存在，星系中的恆星繞星系中心周而復始地旋轉。

你是否有想過，天體為何能有條不亂地運動？是什麼作用使它們周而復始地規律運動？在萬有引力已經是常識的今天，這個問題不難回答，但是準確描述這個現象，分析總結這個現象的規律，再到做出合理的假設，是一個相當漫長的過程。時至今日，我們只需要直接告訴你，經典力學認為，任何兩個物體之間都存在引力，任何一個物體A受到另一個物體B的引力：

$${\boldsymbol {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {n}}$$其中${\boldsymbol {n}}$為AB方向的單位向量，$m_{1}$為A的質量，$m_{2}$為B的質量，$r$為AB間的距離，$G$為萬有引力常量。

這是一個非常理想化的公式，因為它將任何物體都視為了質點，而沒有考慮他們的體積。實際上萬有引力的計算相當複雜，因為需要考慮每個點到每個點之間的體積，因此需要用到微積分。考慮到本書的主要目的是科普，我們在這裏直接告訴你：根據殼層定理，計算任何兩個均勻球體間的萬有引力時，均可以將兩個球體視為球心處的質點。

如果不考慮向心力，我們可以知道，任何以後在半徑為$r$的某個星球表面受到的物體，將萬有引力公式中得距離換為半徑，即可計算出該物體受到的萬有引力。如果這個物體在該星球表面自由下落，那麼加速度

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {g}}&={\frac {\boldsymbol {F}}{m}}\\&=G{\frac {m}{r^{2}}}{\boldsymbol {n}}\\\end{aligned}}$$考慮純量的時候，我們將$g=|{\boldsymbol {g}}|$稱為該星球的重力加速度。

卡文迪許扭秤實驗

扭秤示意圖

雖然萬有引力定律在1687年就被牛頓提出，但是萬有引力常量$G$遲遲沒有被實驗求出，究其原因不過是能夠參加實驗的物體間的引力太小，因為實現現象難以觀測。在1798年，亨利·卡文迪許通過扭秤試驗首次測出萬有引力常量。

卡文迪許採用了如圖所示的扭秤裝置。以後我們會講到，根據的力矩的平衡，扭$G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$秤對引力的效果的具有放大作用。如圖所示，卡文迪許採用硬質杆連接小球，並用繩索來懸掛硬杆，並用大球吸引小球，通過扭秤的轉動，來間接測量引力大小。在這裏生活經驗也可以告訴我們，輕微地觸碰小球，也能引起硬杆的大幅度轉動。只是，由於要測量的引力實在是太小，扭秤還不足以達到明顯的放大效果，因此卡文迪許在懸掛硬質杆的繩索上連接了反光鏡，通過然後讓光束射向反光鏡，同時，反射光指向了另一處標有的刻度，將扭秤的旋轉放大為可以直接讀出的現象。

卡文迪許巧妙地設計了一個能夠將引力二次放大的扭秤測出了萬有引力常量$G$，並於1798年在《自然科學會報》上發表了結論。現在，我們用更加精確的方式測出

$$G=\left(6.67408\pm 0.00031\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\cdot {\mbox{kg}}^{-1}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$$這裏不得不說一下，萬有引力常量即使到了今天，我們的也不能將測定值的精確度提升多高，它依舊只有六位有效數字，相比元電荷、光速這樣的常量這個精確度依舊非常低。

萬有引力與天體運動規律

我們不得不再次囉嗦一下，經典力學的適用範圍是宏觀低速運動。由於天體的運動已經脫離了低速運動的範疇，但是還遠不及光束，因此經典力學用在天體的運動規律的研究上，精確度確實會有所下降，但是並沒有達到不可接受的程度，畢竟在相對論建立前，前輩們也根據牛頓運動定律推算的軌道，發現了海王星。

根據開普勒第二定律，在同樣時間間隔內，行星繞着太陽公轉所掃過的面積相等。

由於天體運動，例如地球繞太陽公轉，軌道很多都接近正圓，因此，我們平時探討時，很多時候會將天體運動視為勻速圓周運動，但實際上，理論上這個軌跡應該是橢圓。並且除了橢圓外，天體可能做拋物線、雙曲線運動。由於此處的推導需要用到大量高等數學知識，因此推導的過程我們準備加入到附錄中，在此處我們直接將約翰內斯·開普勒發現的關於行星運動運動的定律直接作為常識告訴讀者。

開普勒第一定律

每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。

開普勒第二定律

在相等時間內，太陽和運動着的行星的連線所掃過的面積都是相等的。

這條定律可以參看配圖，圖中兩塊「扇形」表示太陽與行星的連線在兩段相等時間內掃過的區域，根據開普勒第二定律，這兩個「扇形」的面積相等。

開普勒第三定律

各個行星繞太陽運動的公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

如果我們將這個行星運動的軌道更理想化一點，將它視作橢圓的特殊情況，也就是圓，那麼行星做勻速圓周運動，此時半長軸即為圓的周長，對於這種特殊情況，我們做如下推導。

周期，是指勻速圓周運動的物體，從某一運動狀態再次回到該運動狀態所經歷的時間，通俗地講，就是運動一周所經過的時間，因此周期

$$T={\frac {s}{v}}={\frac {2\pi r}{v}}={\frac {2\pi }{\omega }}$$假設行星的質量為$m$，恆星的質量為$M$，行星運動的軌道半徑為$r$，根據萬有引力定律和勻速圓周運動的規律，有如下純量表達式

$$G{\frac {Mm}{r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}$$

現將$v={\frac {2\pi r}{T}}$帶入上式有

$${\begin{aligned}G{\frac {Mm}{r^{2}}}&={\frac {m}{r}}\cdot ({\frac {2\pi r}{T}})^{2}\\&={\frac {4\pi mr}{T^{2}}}\\\end{aligned}}$$整理上式可得

$$T^{2}={\frac {4\pi }{GM}}\cdot r^{3}$$因此有

$$T^{2}\propto r^{3}$$

引力質量 質量

你是否注意到，萬有引力公式中，質量參與了運算，這個質量，我們稱之為慣性質量。我們再次說明，質量是一個我們捏造的概念，質量可以客觀地反應物體的一種本質屬性，在這裏，我們假定萬有引力公式中距離，物體A的質量已經確定，那麼物體B受到A的引力大小，僅僅與其質量大小有關。因此，我們發現，任何一個物體B，在其他條件相同情況下，受到同一個物體A的引力，僅僅和物體B的某一個量有關，我們將這個量稱為慣性質量。不知道你有沒有注意到，物理上測量物體的儀器——天平，利用的就是地球上同一位置，地球對相同質量的物體引力相同，也就是所，天平測的是引力質量。

回想一下我們質量的定義，我們在沒有任何情景的情況下，告訴了讀者，物體有一個不受外界影響的本質屬性，叫做質量。在牛頓第二定律中，我們通過給不同物體同一個合外力，觀測不同物體加速度大小，我們認為造成這種加速度大小不同的原因是因為物體的一個本質屬性——慣性質量各不相同。現在，我們在萬有引力定律中，位置$P_{1}$處的物體A對處於位置$P_{2}$的另一物體B的引力${\boldsymbol {F}}$僅與物體B的一個本質屬性有關，也就是引力質量。如果我們用純量表達式表示這兩個質量，則慣性質量

$$m_{i}={\frac {F}{a}}$$總是成立，引力質量

$$m_{g}=F_{g}\cdot {\frac {r^{2}}{m}}$$也總是成立。也就是以上兩個式子，將符合現象的參數填入，總是成立的，因此確定$m_{i}$與$m_{g}$是物體的本質屬性。以目前的觀測的精確度來看，對於任何一個物體，這兩個屬性均成正比，如果我們選取合適的量綱，那麼這個兩個屬性相等。但是，問題在於，沒有任何證據表明，它們是同一個屬性，也就是所，我們不能將他們統一為質量！到目前為知，物理學沒有解釋出為什麼物體的慣性質量和引力質量相等，通常認為這是一種巧合。

習題

1. 根據萬有引力定律和勻速圓周運動的規律，解釋地球表面重力加速度因海拔、緯度不同而不同的原因。
2. 推導：做勻速圓周運動的行星，其線速度為$$v={\sqrt {G{\frac {M}{r}}}}$$其中$M$為它的恆星質量，$r$為其軌道半徑。