基础力学/位置的确定

我们在高中时常把力学的研究对象近似为“质点”这样的理想模型。在数学中，描述一个点的位置可以将一个坐标系引入其中。如图中一点的坐标可表示为：

$(x\,,\,y\,,\,z)$

为了便于使用矢量方法解决物理问题，我们以原点为起点，质点为终点建立该点的位置矢量r，则有：

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$

其中i、j、k分别为x轴、y轴、z轴上的单位矢量。

对于位置矢量r而言，其大小为：

$|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

设α、β、γ分别为r与x轴、y轴、z轴的夹角，则r相对于原点的位置可描述为：

$\cos \alpha ={\frac {x}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \beta ={\frac {y}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \gamma ={\frac {z}{|\mathbf {r} |}}$

上式有如下关系：

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1$

当质点运动时，可以使用其位置矢量关于时间的方程描述该质点的轨迹，即：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$

这就是质点的运动学方程，凭此可以得出质点在任意时刻的位置。

可以得到上式的正交分解式：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\cdot \mathbf {i} +y(t)\cdot \mathbf {j} +z(t)\cdot \mathbf {k}$

同上，i、j、k分别为x轴、y轴、z轴上的单位矢量。所以得到x(t)、y(t)、z(t)就能求出r(t)，反之亦然。所以称：

${\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=z(t)\\\end{cases}}$

为质点运动学方程的标量形式。

当质点仅在平面xOy上运动时，它的运动学方程为：

${\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=0\\\end{cases}}$

消去t，可得：

$y=y(x),\,z=0$

即质点的轨迹方程。