基礎力學/位置的確定

我們在高中時常把力學的研究對象近似為「質點」這樣的理想模型。在數學中，描述一個點的位置可以將一個坐標系引入其中。如圖中一點的坐標可表示為：

$(x\,,\,y\,,\,z)$

為了便於使用矢量方法解決物理問題，我們以原點為起點，質點為終點建立該點的位置矢量r，則有：

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$

其中i、j、k分別為x軸、y軸、z軸上的單位矢量。

對於位置矢量r而言，其大小為：

$|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

設α、β、γ分別為r與x軸、y軸、z軸的夾角，則r相對於原點的位置可描述為：

$\cos \alpha ={\frac {x}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \beta ={\frac {y}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \gamma ={\frac {z}{|\mathbf {r} |}}$

上式有如下關係：

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1$

當質點運動時，可以使用其位置矢量關於時間的方程描述該質點的軌跡，即：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$

這就是質點的運動學方程，憑此可以得出質點在任意時刻的位置。

可以得到上式的正交分解式：

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\cdot \mathbf {i} +y(t)\cdot \mathbf {j} +z(t)\cdot \mathbf {k}$

同上，i、j、k分別為x軸、y軸、z軸上的單位矢量。所以得到x(t)、y(t)、z(t)就能求出r(t)，反之亦然。所以稱：

${\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=z(t)\\\end{cases}}$

為質點運動學方程的標量形式。

當質點僅在平面xOy上運動時，它的運動學方程為：

${\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=0\\\end{cases}}$

消去t，可得：

$y=y(x),\,z=0$

即質點的軌跡方程。