國中數學/國中數學八年級/8-1 角

7-2 函數圖形與線型函數

◄

國中數學八年級 8-1 角

►

8-2 尺規作圖

本章節要介紹基本的平面圖形「角(angle)」。

角的分類

國小講過「角的分類」，現重新複習如下：
參見：維基百科：角的種類

• 銳角：角度介於$0$度到$90$度的角。
• 直角：角度等於$90$度的角。
• 鈍角：角度介於$90$度到$180$度的角。
• 平角：角度等於$180$度的角。
• 優角：角度介於$180$度到$360$度的角。
• 周角：角度等於$360$度的角。

一個直角

$\angle a$為銳角，$\angle b$為鈍角

一個周角

例子

下圖中，$\triangle ABC$為直角三角形，$\angle A$、$\angle B$為銳角，$\angle C$為直角。
其中，$a$、$b$分別是銳角$\angle A$、$\angle B$的對邊，我們稱之為股；$c$是直角$\angle C$的對邊，我們稱之為斜邊。

補角與餘角

參見：維基百科：補角、維基百科：餘角

一對互補角

補角

• 兩個角的度數和為$180$度時，我們稱這兩個角互補，即$\angle A+\angle B=180^{\circ }$時，我們稱$\angle A$、$\angle B$互為補角，簡稱$\angle A$與$\angle B$互補。

Example：當兩個角的邊可以碰在一起形成一直線時，則這兩個角互補。(如右圖所示)

餘角

• 兩個角的度數和為$90$度時，我們稱這兩個角互餘，$\angle A+\angle B=90^{\circ }$時，我們稱$\angle A$、$\angle B$互為餘角，簡稱$\angle A$與$\angle B$互餘。

Example：左圖$\triangle ABC$中，兩銳角$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，故直角三角形當中兩銳角$\angle A$、$\angle B$互餘。

例題$1$ 已知$\angle A$與$\angle B$互餘，$\angle B$與$\angle C$互補，則： $(1)$若$\angle A$為$35^{\circ }$，則$\angle B$與$\angle C$分別是幾度？ $(2)$若$\angle A$為$x^{\circ }$，則$\angle B$與$\angle C$分別是幾度？(用$x$表示)

解 $(1)$因為$\angle A=35^{\circ }$，$\angle B$與$\angle A$互餘，代表$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，所以$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$； 而因為$\angle B=55^{\circ }$，$\angle B$與$\angle C$互補，代表$\angle B+\angle C=180^{\circ }$，所以$\angle C=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$。 $(2)$因為$\angle A=x^{\circ }$，$\angle B$與$\angle A$互餘，代表$\angle A+\angle B=90^{\circ }$，所以$\angle B=90^{\circ }-\angle A=(90-x)^{\circ }$； 而因為$\angle B=(90-x)^{\circ }$，$\angle B$與$\angle C$互補，代表$\angle B+\angle C=180^{\circ }$，所以$\angle C=180^{\circ }-\angle B=[180-(90-x)]^{\circ }=(90+x)^{\circ }$。

對頂角

參見：維基百科：對頂角

對頂角

兩直線交於一點會形成$4$個角，其中不相鄰的兩個角我們稱為對頂角。
如右圖，$\angle A$與$\angle B$互為對頂角；$\angle C$與$\angle D$互為對頂角。

• 兩個角互為對頂角，則這兩個角度數相同。
• 另外要注意的是，要兩直線有交點才會形成兩組對頂角，如果不共線的話就不會有對頂角。

例題$2$ 如右圖，已知兩直線相交於一點，而且$\angle 1=(3x+8)^{\circ }$，$\angle 3=(6x-22)^{\circ }$，則$\angle 2$為幾度？

解 ∵兩直線相交於一點，∴$\angle 1$與$\angle 3$為對頂角， 即$3x+8=6x-22$，可以解出$x=10$， 所以$\angle 1$為$3\times 10+8=30+8=38$度，$\angle 2=180^{\circ }-\angle 1=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }$。

角平分線

參見：維基百科：平分線
如下圖所示，若射線$OP$將一個角$\angle AOB$分成$2$個相同角度大小的角$\angle AOP$與$\angle BOP$，則稱射線$OP$為$\angle AOB$的角平分線。

射線OP為∠AOB的角平分線

平分後的角與原角的度數關係

若射線$OP$為$\angle AOB$的角平分線，則$\angle AOP=\angle BOP={\frac {1}{2}}\angle AOB$。

• 若直線$L$上從左而右依序有三點$A$、$B$、$C$，$O$為線外一點且${\overline {OB}}$垂直直線$L$，則${\overline {OB}}$為平角$\angle ABC$的角平分線。

優角

優角即為介於180度到360度的角度。

例題$3$ 如果我們在一個圓中取一個圓心$O$點，再畫OA、OB兩條射線。 $(1)$若銳角$\angle AOB$為$50^{\circ }$，則其優角是幾度？ $(2)$若鈍角$\angle AOB$為$110^{\circ }$，則其優角是幾度？

解 $(1)$因$\angle AOB$為$50^{\circ }$，周角為$360^{\circ }$，所以優角＝360°－50°＝310°。 $(2)$因$\angle AOB$為$110^{\circ }$，周角為$360^{\circ }$，所以優角＝360°－110°＝250°。

複習條目

• 平面圖形

未來要學習的

• 尺規作圖：角平分線
• 內角與外角
• 角平分線的性質