国中数学/国中数学八年级/8-1 角

　7-2 函数图形与线型函数

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国中数学八年级
8-1 角

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8-2 尺规作图　

本章节要介绍基本的平面图形“角(angle)”。

角的分类

国小讲过“角的分类”，现重新复习如下：
参见：维基百科：角的种类

锐角：角度介于 $0$ 度到 $90$ 度的角。
直角：角度等于 $90$ 度的角。
钝角：角度介于 $90$ 度到 $180$ 度的角。
平角：角度等于 $180$ 度的角。
优角：角度介于 $180$ 度到 $360$ 度的角。
周角：角度等于 $360$ 度的角。

一个直角

\angle a

为锐角，

\angle b

为钝角

一个周角

例子

下图中， $\triangle ABC$ 为直角三角形， $\angle A$ 、 $\angle B$ 为锐角， $\angle C$ 为直角。
其中， $a$ 、 $b$ 分别是锐角 $\angle A$ 、 $\angle B$ 的对边，我们称之为股； $c$ 是直角 $\angle C$ 的对边，我们称之为斜边。

补角与余角

参见：维基百科：补角、维基百科：余角

一对互补角

补角

两个角的度数和为 $180$ 度时，我们称这两个角互补，即 $\angle A+\angle B=180^{\circ }$ 时，我们称 $\angle A$ 、 $\angle B$ 互为补角，简称 $\angle A$ 与 $\angle B$ 互补。

Example：当两个角的边可以碰在一起形成一直线时，则这两个角互补。(如右图所示)

余角

两个角的度数和为 $90$ 度时，我们称这两个角互余， $\angle A+\angle B=90^{\circ }$ 时，我们称 $\angle A$ 、 $\angle B$ 互为余角，简称 $\angle A$ 与 $\angle B$ 互余。

Example：左图 $\triangle ABC$ 中，两锐角 $\angle A+\angle B=90^{\circ }$ ，故直角三角形当中两锐角 $\angle A$ 、 $\angle B$ 互余。

例题

1

已知

\angle A

与

\angle B

互余，

\angle B

与

\angle C

互补，则：

$(1)$ 若 $\angle A$ 为 $35^{\circ }$ ，则 $\angle B$ 与 $\angle C$ 分别是几度？
$(2)$ 若 $\angle A$ 为 $x^{\circ }$ ，则 $\angle B$ 与 $\angle C$ 分别是几度？(用 $x$ 表示)

解

$(1)$ 因为 $\angle A=35^{\circ }$ ， $\angle B$ 与 $\angle A$ 互余，代表 $\angle A+\angle B=90^{\circ }$ ，所以 $\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$ ；
而因为 $\angle B=55^{\circ }$ ， $\angle B$ 与 $\angle C$ 互补，代表 $\angle B+\angle C=180^{\circ }$ ，所以 $\angle C=180^{\circ }-\angle B=180^{\circ }-55^{\circ }=125^{\circ }$ 。
$(2)$ 因为 $\angle A=x^{\circ }$ ， $\angle B$ 与 $\angle A$ 互余，代表 $\angle A+\angle B=90^{\circ }$ ，所以 $\angle B=90^{\circ }-\angle A=(90-x)^{\circ }$ ；
而因为 $\angle B=(90-x)^{\circ }$ ， $\angle B$ 与 $\angle C$ 互补，代表 $\angle B+\angle C=180^{\circ }$ ，所以 $\angle C=180^{\circ }-\angle B=[180-(90-x)]^{\circ }=(90+x)^{\circ }$ 。

对顶角

参见：维基百科：对顶角

对顶角

两直线交于一点会形成 $4$ 个角，其中不相邻的两个角我们称为对顶角。
如右图， $\angle A$ 与 $\angle B$ 互为对顶角； $\angle C$ 与 $\angle D$ 互为对顶角。

两个角互为对顶角，则这两个角度数相同。
另外要注意的是，要两直线有交点才会形成两组对顶角，如果不共线的话就不会有对顶角。

例题

2

如右图，已知两直线相交于一点，而且

\angle 1=(3x+8)^{\circ }

，

\angle 3=(6x-22)^{\circ }

，则

\angle 2

为几度？

解

∵两直线相交于一点，∴ $\angle 1$ 与 $\angle 3$ 为对顶角，
即 $3x+8=6x-22$ ，可以解出 $x=10$ ，
所以 $\angle 1$ 为 $3\times 10+8=30+8=38$ 度， $\angle 2=180^{\circ }-\angle 1=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }$ 。

角平分线

参见：维基百科：平分线
如下图所示，若射线 $OP$ 将一个角 $\angle AOB$ 分成 $2$ 个相同角度大小的角 $\angle AOP$ 与 $\angle BOP$ ，则称射线 $OP$ 为 $\angle AOB$ 的角平分线。

射线OP为∠AOB的角平分线

平分后的角与原角的度数关系

若射线 $OP$ 为 $\angle AOB$ 的角平分线，则 $\angle AOP=\angle BOP={\frac {1}{2}}\angle AOB$ 。

若直线 $L$ 上从左而右依序有三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ， $O$ 为线外一点且 ${\overline {OB}}$ 垂直直线 $L$ ，则 ${\overline {OB}}$ 为平角 $\angle ABC$ 的角平分线。

优角

优角即为介于180度到360度的角度。

例题

3

如果我们在一个圆中取一个圆心

O

点，再画OA、OB两条射线。

$(1)$ 若锐角 $\angle AOB$ 为 $50^{\circ }$ ，则其优角是几度？
$(2)$ 若钝角 $\angle AOB$ 为 $110^{\circ }$ ，则其优角是几度？

解

$(1)$ 因 $\angle AOB$ 为 $50^{\circ }$ ，周角为 $360^{\circ }$ ，所以优角＝360°－50°＝310°。
$(2)$ 因 $\angle AOB$ 为 $110^{\circ }$ ，周角为 $360^{\circ }$ ，所以优角＝360°－110°＝250°。

注解

复习条目

平面图形