麥克斯韋方程組

馬克士威方程組（英語：Maxwell's equations）是由英國物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀初創立的描述電磁場特性及其關係的方程組。方程組包括一組積分形式、一組微分形式和三個輔助方程（本構關係）。積分和微分兩種形式可以藉助高斯公式及斯托克斯公式相互轉換。兩種形式分別包含四個方程。

相關條目：電磁場理論，電磁波理論。

理論基礎

麥克斯韋方程組的四個方程分別描述了電磁學的四個重要定理和定律。首先，引入參考量：

• E：電場強度（向量）

  由電場強度的定義「電場強度為沿電場線方向，單位距離上的電勢降落」可知，電場強度的單位為：伏特/米，即：v/m。

  另，「電場強度等於點電荷受到的電場力與其電量之比」可知，電場強度的單位亦可為牛頓/庫倫，即N/C。

• B：磁感應強度（向量）

  磁感應強度也被稱為磁通量密度或磁通密度。在磁場中垂直於磁場方向的通電導線,所受到的磁場力F跟電流強度I和導線長度L的乘積IL的比值，定義為通電導線所在處的磁感應強度,用B表示。磁感應強度的單位為：特斯拉，即：T。1T=1N/（A·m）。

• H：磁場強度（向量）

  磁場強度定義式為H=B/μ0-M，式中B是磁感應強度，M是磁化強度，μ0是真空中的磁導率，μ0=4π×10-7韋伯/（米·安）。H的單位是安培/米，即A/m。

• D：電位移（向量）

  電位移向量可以用來解釋電介質內自由電荷產生的極化效應。電位移向量D以方程式定義為:

  ${\overrightarrow {D}}{\overset {def}{=}}{\varepsilon }_{0}{\overrightarrow {E}}+{\overrightarrow {P}}$

  其中， ε₀是真空介電常數，E是電場強度，P是（電）極化強度。國際單位制中，電位移向量的單位為：庫倫/平方米，即：C/m²

• J：電流密度（向量）

  在電流密度可以理解為「電荷流動的密度」，即通過單位截面的電流。電流密度又可分為體電流密度（國際單位制：安培/平方米，A/M²）、面電流密度（單位：安培/米，A/M）、線電流密度（即我們平時所謂的電流：導線中的電流強度，單位：安培，A）。

• ρ：電荷密度（純量）

  電荷密度又可以分為電荷體密度，電荷線密度，點電荷（可以認為是對應的點電荷密度，但是通常理解下點電荷具有電量但不具有體積，所以點電荷的密度無限大。舉例說明：帶有電量q的半徑為a的小球在半徑為r的空間內的電荷分布可以用空間的純量函數delta函數來說明。）

注：磁感應強度B與磁場強度H的區別與聯繫。簡言之，H是外場，B是總場，它們單位不同僅僅是由於來源不同：前者通過電流的磁效應得到，後者通過帶電粒子在磁場中的運動定義。B比H更加基本，是由於電流本身就是帶電粒子的運動產生，粒子模型比電流模型更加基本。H來源於Ampere定律。Ampere通做電流做實驗，發現長直導線外，到導線距離相等的點，「磁場」大小相同；距離不同的點，「磁場」強度隨著距離成反比。這裡所謂的「磁場」大小是通過小磁針扭轉力矩等力學方式得到的。這樣，通過力學測量和已有的電流強度的定義，即可定義一個物理量H，滿足2*pi*R*H=I。推廣後就是Ampere環路定律。此時無需真空磁導率μ0，因為只要知道電流I就能定義H這個物理量。B來源於帶電粒子的受力。對於一定速度的粒子，加上H磁場，通過軌道測量以及牛頓力學，你可以測出粒子受的力。你發現受的力和電荷數q以及速度成正比，也和H成正比，但是力F並不直接等於qvH，而是還差一個因子：F=A*q*vⅹH，A只是個待定因子，暫未賦予物理意義。磁導率如何引入。這樣，H是電流外加給的磁場，通過粒子受力，直接定義一個粒子感受到的磁場，叫它B，為了使得F= qvⅹB成立。即，外施H場，粒子運動感受到的卻是B場，這就可以定義磁導率μ =B/H，「率」即比例的意思。磁導率，就是粒子運動（受力）與外界磁的比例，描述前者隨著後者的響應。磁導率大，那麼同樣大的外加磁場H使得粒子受力的響應（如偏轉）也越大；磁導率如果為零（不導磁），那麼多大的磁場也不會使得粒子有偏轉等力學反應，磁導率如果近乎無限大，你只要加一丁點外磁場H，粒子就已經偏轉的不亦樂乎。

高斯定理

$\oint _{S}^{}{{\overrightarrow {F}}d{\overrightarrow {S}}}=\int _{V}^{}{\left(\nabla \cdot {\overrightarrow {F}}\right)d{\overrightarrow {V}}}$ 高斯定理亦稱為散度定理。閉合曲面S包圍的體積V，滿足此等式所示關係。

另見維基百科上的高斯散度定理。

斯托克斯定理

$\oint _{l}^{}{\overrightarrow {F}}d{\overrightarrow {l}}=\int _{S}^{}{\left(\nabla \times {\overrightarrow {F}}\right)d{\overrightarrow {S}}}$

亦稱為旋度定理。閉合曲線I包圍的面積S，滿足此等式所示關係。

另見維基百科上的斯托克斯定理。

安培環路定律

亦稱為安培定律。

另見維基百科上的安培定律。

法拉第電磁感應定律

全稱法拉第電磁感應定律。一般不簡稱為法拉第定律，因為以法拉第命名的定律不止這一個。

麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組的積分形式

麥克斯韋方程組的積分形式描述了一個大範圍內（任意閉合面或閉合曲線所占空間範圍內），場與場源（電荷、電流以及時變的電場或磁場）相互之間的關係。按照習慣可依次排列為：

• 1. $\oint _{C}^{}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{S}^{}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+\int _{S}^{}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\cdot d{\vec {S}}$
• 2. $\oint _{C}^{}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}=-{\frac {d}{dt}}\int _{S}^{}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}$
• 3. $\oint _{S}^{}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=0$
• 4. $\oint _{S}^{}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}=\int _{V}^{}{\rho d}{\vec {V}}$

• 注：
  • 方程1表示全電流定律。磁場強度在場內任意閉合曲線的線積分等於穿過此曲線限定面積的全電流，即穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導電流與位移電流之和。方程1中，H表示磁場強度向量，dl為曲線C上的長度元向量，J為電流密度向量，dS為以曲線C為周界的面積元向量，D為電位移向量。方程右側第一項表示傳導電流，第二項為極化電流。方程1的物理含義為：沿曲線C的傳導電流和位移電流之和是以曲線C為周界的磁場強度為H的磁場的源（或漩渦源，在之後的推導過程中會有說明為什麼是漩渦源）。
  • 方程2表示法拉第電磁感應定律。電場強度沿任意閉合曲線的環量，等於穿過以此閉合曲線為周界的任意曲面的磁通量變化率的負值。方程2中，E表示媒質中感應出的電場強度，B為磁感應強度，dt為時間元。方程2的物理含義為：磁感應強度為場B的磁場在沿曲線C的迴路中產生的感應電動勢為以曲線C為周界的磁通量的變化率。
  • 方程3表示磁場是無源場。穿過任意閉合曲面的磁感應強度的通量為零，即磁場中任意一點都有完整的「磁感線」「經過」（有進有出，並且進的量等於出的量，即淨通過量為零）。方程3暗示了：磁單極子不存在。
  • 方程4表示電荷守恆定律。通過任意閉合曲面的電位移通量等於該閉合面所包圍的自由電荷的代數和。由此式還可以看出電位移向量的單位是：庫倫/米²（C/m²）。方程4中，D表示電位移向量，ρ表示體積V內的電荷密度，方程左側對電位移向量的面積積分表示閉合曲面S內電位移向量D的通量（可以認為是通過的量，或者包含的量），方程右側表示以ρ為電荷體密度分布在體積V內的電荷的總電量。

麥克斯韋方程組的微分形式

• 5. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {D}}}{\partial t}}$
• 6. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$
• 7. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
• 8. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=\rho$

• 注：
  • 方程5的左側表示磁場強度為H的磁場的漩渦源（即旋度），方程5的右側表示傳導電流密度與位移電流密度之和。
  • 方程6表示電場的漩渦源是磁感應強度的變化率。由於感應電動勢阻礙磁感應強度發生變化，顧此等式包含一個負號。
  • 方程7表示磁場為無源場。
  • 方程8表示電介質中高斯定理的微分形式，電介質中任意一點的電位移向量的散度等於該點的自由電荷體密度ρ，即電位移向量的通量源是自由電荷，電位移線從正的自由電荷出發而終止與負的自由電荷。對兩端同時取體積分並應用散度定理即可得到高斯定理的積分形式。

媒質的本構關係（電磁場的輔助方程）

• 9. ${\overrightarrow {D}}=\varepsilon {\overrightarrow {E}}$
• 10. ${\overrightarrow {B}}=\mu {\overrightarrow {H}}$
• 11. ${\overrightarrow {J}}=\sigma {\overrightarrow {E}}$

• 注：
  • ε（epsilon）為介電常數（又稱為「電容率」或「絕對電容率」），國際單位制單位為：法拉/米（Farad/meter, F/m）；
  • μ（mu）為磁導率，國際單位制單位為：亨利/米（H/m），或:牛頓/安培²（N/A²）;
  • σ（sigma）為媒質的電導率，國際單位制單位為：西門子/米 （S/m）。此處我們只討論均勻且各向同性的介質（所謂同構），故電導率為一向量（另見向量分析），而非張量（此內容不做要求）。

電磁場的邊界條件

邊界條件的一般形式

磁場強度H的邊界條件

磁場強度H在穿過存在面電流的兩媒質分界面時，其切向分量是不連續的。當兩種媒質的電導率為有限值時，分界面上不可能存在面電流分布，即H的切向分量是連續的。

電場強度E的邊界條件

電場強度E的切向分量在分界面上是連續的。

磁感應強度B的邊界條件

磁感應強度B的法向分量在分界面上是連續的。

電位移向量D的邊界條件

電位移向量D的法向分量在分界面上是不連續的。

兩種特殊情況下的邊界條件

實際工程中經常用到一些具有良好導電性的材料（良導體）和一些具有良好絕緣性的材料（電介質）。為簡化場問題的分析和計算，在時變場中我門通常把良導體視為理想導體（電導率無限大），把電介質視為理想媒質（電導率為零）。

理想導體表面上的邊界條件

理想導體內部的磁場強度、電場強度、磁感應強度、電位移向量均為零。將H、E、B、D分別帶入邊界條件的一般形式，即可得到理想導體表面上的邊界條件。

理想媒質表面上的邊界條件

電場向量（E、D）穿過兩介質的分界面時方向發生變化（折射）。

至此，可將電磁場的邊界條件的總結如下：

• 在兩種介質的分界面上，如果存在面電流，使H的切向分量不連續，其不連續量由邊界條件的一般形式確定。若分界面上不存在面電流，則H的切向分量是連續的。
• 在兩種媒質的分界面上，E的切向分量是連續的。
• 在兩種媒質的分界面上，B的法向分量是連續的。
• 在兩種媒質的分界面上，如果存在面電荷，使D的法向分量不連續，其不連續量由邊界條件的一般形式確定。若分界面上不存在面電荷，則D的法向分量是連續的。