电磁场理论

矢量分析

电磁场的基本规律

此章节可参考词条麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组及其辅助方程

详情可暂时参考词条“麦克斯韦方程组”。

静态电磁场的基本规律及标志问题的解

静电场分析

导体系统的电容

长直双导体的电容

双导线的电容
同轴电缆的电容

镜像法(静电场以及恒定磁场)

在静电场中，如果遇到源电荷附近存在具有一定形状的导体，此时导体表面会产生感应电荷。导体外部空间的电场强度就等于源电荷产生的场强与感应电荷产生的场强之和。此时直接求解一般是比较困难的，因为感应电荷也取决于源电荷。但如果源电荷是点电荷或者线电荷，导体的形状是平面、圆柱或者球等简单形状，就可以用镜像法对其求解。 实现镜像法的具体思路，是在所研究的场域以外找一点，设置虚拟电荷，令其作用效果等效于导体表面的感应电荷或者介质分界面的极化电荷。这就把原来的边值问题的求解转化为了均匀无界空间中的求解。
由唯一性定理，镜像电荷的设定需要注意两个原则：

• 所有镜像电荷必须存在于场域以外的空间中；
• 镜像电荷的个数、位置和带电量的大小以满足场域边界面上的边界条件为准。

接地导体导体平面的镜像

线电荷对无限大接地导体平面的镜像

以上两种情况所设置的镜像电荷总是与源电荷所带电量相同，但极性相反。

点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像(两次镜像)

平面直角坐标系中，q位于第一象限，两块相交半无限大导体平面即为x、y的正半轴。此时需要进行两次镜像，以使得x、y的正半轴(即相交半无限大接地导体)电势为零。

导体球面的镜像

点电荷对接地导体球面的镜像

点电荷在球面外部。源电荷电量等于感应电荷电量等于镜像电荷电量。
点电荷在球面内部。源电荷电量小于感应电荷电量等于镜像电荷电量，电荷增量与球面半径成正比，与源电荷距球心距离成反比。

点电荷对不接地导体球面的镜像

假设此时导体球面接地，源电荷q在未接地的球面导体内层感应出电荷q'，此时导体球面带总电量为q'。若导体球面不接地，源电荷q在球面内层仍会感应出电荷q'，此时导体球面外层带有总电量为-q'的均匀分布的电荷，且导体球面总带电量为0呈电中性。

导体柱面的镜像

线电荷对导体柱面的镜像

一根电荷线密度为ρ_l的无限长线电荷位于半径为r的无限长接地导体圆柱面外，且与圆柱的轴线平行，线电荷到周线的距离为d。即横截面与点电荷对接地导体球面的截面相同。

两平行圆柱导体的电轴

借助于对线电荷对导体圆柱面的镜像的分析方法，可以对两半径相同、带有等量异号的电荷的平行无限长直导体圆柱的问题进行分析。这种情况在电力传输及通信工程中有广泛的应用。

介质平面的镜像

含有无限大介质分界面的问题可以用镜像法求解。

点电荷对电介质分界平面的镜像

当点电荷位于两种不同电介质分界平面附近时，可以利用镜像法来求解电场分布问题。

线电流对磁介质分解平面的镜像

于静点问题类似，当线电流位于两种不同磁介质的分界平面时，可以利用镜像法雷求解磁场分布问题。

分离变量法

分离变量法是求解边值问题的一种经典方法，其基本分析方法是：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，带入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离成几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。唯一性定理确保这种方法求出的解是唯一的。

时变电磁场

波动方程

由麦克斯韦方程组可以建立波动方程。在无源空间中，电流密度J和电荷密度ρ处处为零。在线性和各向同性的均匀介质中，电场强度E和磁场强度H满足的麦克斯韦方程组为：
1. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\frac {\partial {\overrightarrow {D}}}{\partial t}}$
2. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$
3. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
4. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=0$
其中，将辅助方程带入1式和2式后，可以得到：
5. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}=\varepsilon {\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}$
6. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-\mu {\frac {\partial {\overrightarrow {H}}}{\partial t}}$ 对6式的等式两边取旋度，可得：

电磁能量守恒定律

电场和磁场都具有能量，在线性和各向同性的媒质中，电场能量密度ω_e和磁场能量密度ω_m分别为：
7. ${\omega }_{e}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {D}}$
8. ${\omega }_{m}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {H}}$
在时变电场中，电场能量密度ω等于电场能量密度ω_e和磁场能量密度ω_m之和，即：
9. $\omega ={\omega }_{e}+{\omega }_{m}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {D}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {H}}$
当场随时间变化时，空间的电场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量流动的状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示为单位时间内穿过于能量流动方向垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢量用S表示，其单位为W/m²(瓦/平方米)。
10. ${\overrightarrow {S}}={\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {H}}$ 电磁能量一如其他能量服从能量守恒定律。坡印廷矢量可由麦克斯韦方程组推导出来。

唯一性定理

唯一性定理指出：在以闭合曲面S为周界的有界区域V内，如果给定t=0时刻的电场强度E和磁场强度H的初始值，并且在t≥0时，给定边界面S上的电场强度E的切向分量或磁场强度H的切向分量，那么在t<0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程组唯一确定。

时谐电磁场

在时变电磁场中，如果场源与一定的角频率随时间呈时谐(正弦或余弦)变化，则所产生的电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率做时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程中，应用最多的是时谐电磁场。同时，任意(非时谐)的时变场在一定条件下都可以通过傅里叶分析的方法展开为不同频率的时谐场的叠加。

复矢量的麦克斯韦方程组

11. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J}}+j\omega {\overrightarrow {D}}$
12. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-j\omega {\overrightarrow {B}}$
13. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
14. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=\rho$

复电容率和复磁导率

实际的媒质都是有损耗的，电导率为有限值的导电媒质存在欧姆损耗，电介质的极化存在电极化损耗，磁介质的磁化存在磁介质损耗。损耗的大小除与媒质的材料有关外，也与场随时间变化的快慢有关。一些媒质在低频场中损耗可以忽略，而在高频场中往往就不能忽略了。 损耗角、损耗角的正切可以描述场的损耗情况。

平均能量密度和平均能流密度矢量

前面讨论的坡印廷矢量是瞬时值矢量，表示瞬时能流密度。在时谐电场中，一个周期内的平均能流矢量S_av(即平均坡印廷矢量)更有意义。式10.的平均值为：
15. ${\overrightarrow {S}}_{av}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\overrightarrow {S}}dt={\frac {\omega }{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }/{\omega }}{\overrightarrow {S}}dt$
式中T=2π/ω为时谐电磁场的时间周期。