電磁場理論

矢量分析

電磁場的基本規律

此章節可參考詞條麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組及其輔助方程

詳情可暫時參考詞條「麥克斯韋方程組」。

靜態電磁場的基本規律及標誌問題的解

靜電場分析

導體系統的電容

長直雙導體的電容

雙導線的電容
同軸電纜的電容

鏡像法(靜電場以及恆定磁場)

在靜電場中，如果遇到源電荷附近存在具有一定形狀的導體，此時導體表面會產生感應電荷。導體外部空間的電場強度就等於源電荷產生的場強與感應電荷產生的場強之和。此時直接求解一般是比較困難的，因為感應電荷也取決於源電荷。但如果源電荷是點電荷或者線電荷，導體的形狀是平面、圓柱或者球等簡單形狀，就可以用鏡像法對其求解。 實現鏡像法的具體思路，是在所研究的場域以外找一點，設置虛擬電荷，令其作用效果等效於導體表面的感應電荷或者介質分界面的極化電荷。這就把原來的邊值問題的求解轉化為了均勻無界空間中的求解。
由唯一性定理，鏡像電荷的設定需要注意兩個原則：

• 所有鏡像電荷必須存在於場域以外的空間中；
• 鏡像電荷的個數、位置和帶電量的大小以滿足場域邊界面上的邊界條件為準。

接地導體導體平面的鏡像

線電荷對無限大接地導體平面的鏡像

以上兩種情況所設置的鏡像電荷總是與源電荷所帶電量相同，但極性相反。

點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像(兩次鏡像)

平面直角坐標系中，q位於第一象限，兩塊相交半無限大導體平面即為x、y的正半軸。此時需要進行兩次鏡像，以使得x、y的正半軸(即相交半無限大接地導體)電勢為零。

導體球面的鏡像

點電荷對接地導體球面的鏡像

點電荷在球面外部。源電荷電量等於感應電荷電量等於鏡像電荷電量。
點電荷在球面內部。源電荷電量小於感應電荷電量等於鏡像電荷電量，電荷增量與球面半徑成正比，與源電荷距球心距離成反比。

點電荷對不接地導體球面的鏡像

假設此時導體球面接地，源電荷q在未接地的球面導體內層感應出電荷q'，此時導體球面帶總電量為q'。若導體球面不接地，源電荷q在球面內層仍會感應出電荷q'，此時導體球面外層帶有總電量為-q'的均勻分布的電荷，且導體球面總帶電量為0呈電中性。

導體柱面的鏡像

線電荷對導體柱面的鏡像

一根電荷線密度為ρ_l的無限長線電荷位於半徑為r的無限長接地導體圓柱面外，且與圓柱的軸線平行，線電荷到周線的距離為d。即橫截面與點電荷對接地導體球面的截面相同。

兩平行圓柱導體的電軸

藉助於對線電荷對導體圓柱面的鏡像的分析方法，可以對兩半徑相同、帶有等量異號的電荷的平行無限長直導體圓柱的問題進行分析。這種情況在電力傳輸及通信工程中有廣泛的應用。

介質平面的鏡像

含有無限大介質分界面的問題可以用鏡像法求解。

點電荷對電介質分界平面的鏡像

當點電荷位於兩種不同電介質分界平面附近時，可以利用鏡像法來求解電場分布問題。

線電流對磁介質分解平面的鏡像

於靜點問題類似，當線電流位於兩種不同磁介質的分界平面時，可以利用鏡像法雷求解磁場分布問題。

分離變量法

分離變量法是求解邊值問題的一種經典方法，其基本分析方法是：把待求的位函數表示為幾個未知函數的乘積，其中每一個未知函數僅是一個坐標變量的函數，帶入偏微分方程進行變量分離，將原偏微分方程分離成幾個常微分方程，然後分別求解這些常微分方程並利用邊界條件確定其中的待定常數，從而得到位函數的解。唯一性定理確保這種方法求出的解是唯一的。

時變電磁場

波動方程

由麥克斯韋方程組可以建立波動方程。在無源空間中，電流密度J和電荷密度ρ處處為零。在線性和各向同性的均勻介質中，電場強度E和磁場強度H滿足的麥克斯韋方程組為：
1. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\frac {\partial {\overrightarrow {D}}}{\partial t}}$
2. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$
3. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
4. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=0$
其中，將輔助方程帶入1式和2式後，可以得到：
5. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}=\varepsilon {\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}$
6. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-\mu {\frac {\partial {\overrightarrow {H}}}{\partial t}}$ 對6式的等式兩邊取旋度，可得：

電磁能量守恆定律

電場和磁場都具有能量，在線性和各向同性的媒質中，電場能量密度ω_e和磁場能量密度ω_m分別為：
7. ${\omega }_{e}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {D}}$
8. ${\omega }_{m}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {H}}$
在時變電場中，電場能量密度ω等於電場能量密度ω_e和磁場能量密度ω_m之和，即：
9. $\omega ={\omega }_{e}+{\omega }_{m}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {E}}\cdot {\overrightarrow {D}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {H}}$
當場隨時間變化時，空間的電場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。為了描述能量流動的狀況，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流動方向，其大小表示為單位時間內穿過於能量流動方向垂直的單位面積的能量。能流密度矢量又稱為坡印廷矢量用S表示，其單位為W/m²(瓦/平方米)。
10. ${\overrightarrow {S}}={\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {H}}$ 電磁能量一如其他能量服從能量守恆定律。坡印廷矢量可由麥克斯韋方程組推導出來。

唯一性定理

唯一性定理指出：在以閉合曲面S為周界的有界區域V內，如果給定t=0時刻的電場強度E和磁場強度H的初始值，並且在t≥0時，給定邊界面S上的電場強度E的切向分量或磁場強度H的切向分量，那麼在t<0時，區域V內的電磁場由麥克斯韋方程組唯一確定。

時諧電磁場

在時變電磁場中，如果場源與一定的角頻率隨時間呈時諧(正弦或餘弦)變化，則所產生的電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率做時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。在工程中，應用最多的是時諧電磁場。同時，任意(非時諧)的時變場在一定條件下都可以通過傅里葉分析的方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。

復矢量的麥克斯韋方程組

11. $\nabla \times {\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {J}}+j\omega {\overrightarrow {D}}$
12. $\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-j\omega {\overrightarrow {B}}$
13. $\nabla \cdot {\overrightarrow {B}}=0$
14. $\nabla \cdot {\overrightarrow {D}}=\rho$

復電容率和復磁導率

實際的媒質都是有損耗的，電導率為有限值的導電媒質存在歐姆損耗，電介質的極化存在電極化損耗，磁介質的磁化存在磁介質損耗。損耗的大小除與媒質的材料有關外，也與場隨時間變化的快慢有關。一些媒質在低頻場中損耗可以忽略，而在高頻場中往往就不能忽略了。 損耗角、損耗角的正切可以描述場的損耗情況。

平均能量密度和平均能流密度矢量

前面討論的坡印廷矢量是瞬時值矢量，表示瞬時能流密度。在時諧電場中，一個周期內的平均能流矢量S_av(即平均坡印廷矢量)更有意義。式10.的平均值為：
15. ${\overrightarrow {S}}_{av}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\overrightarrow {S}}dt={\frac {\omega }{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }/{\omega }}{\overrightarrow {S}}dt$
式中T=2π/ω為時諧電磁場的時間周期。