高中數學/向量與複數/向量的坐標表示與定比分點公式

基礎知識

向量在直角坐標系下的表示

在2維平面直角坐標系中，也可以將向量像點一樣，用1對有序的數表示出來，得到向量的分量形式（vector component form）或者坐標化向量（coordinate vector）。用於描述向量位置的每一個數都叫做向量沿坐標軸的分量（component）。

假設有${\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})$這2個平面向量，那麼前面所學的向量公式都可以用坐標表達出來。例如：

• 向量可以按分量相加或相減：${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{1},y_{1})\pm (x_{2},y_{2})=(x_{1}\pm x_{2},y_{1}\pm y_{2})$。
• 向量乘以1個數時，各個分量都同時擴大：$k{\vec {a}}=k(x_{1},y_{1})=(kx_{1},ky_{1})$。

知道或設好平面向量的坐標後，也可以利用勾股定理求出其模。例如設點$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$，則有：
$|{\vec {AB}}|=|(x_{B},y_{B})-(x_{A},y_{A})|=|(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}$

藉助這種代數化的運算，一方面可以避免畫圖的麻煩而直接計算出許多向量問題的解，另一方面可以發現在空間中的三維向量也有形似一致的公式。

描述直線（數軸）上的一個點需要1個坐標，描述平面上的一個點需要2個坐標，而描述三維空間中的一個點需要確定3個坐標。最常見的描述空間中位置的坐標系是三維直角坐標系，也即設置3個彼此之間兩兩保持垂直的x軸、y軸和z軸。類似地，描述3維空間中的向量需要3個獨立分量，平行四邊形法則和三角形法則對空間向量的加減運算也依然成立，在空間直角坐標系下向量的加減和數乘運算也是對各個分量分別進行的。

對於${\vec {a}}(x_{1},y_{1},z_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2},z_{2})$這2個三維向量，我們可以直接通過坐標代數運算的形式給出加減法和數乘的計算方法：

• 向量可以按分量相加或相減：${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{1},y_{1},z_{1})\pm (x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}\pm x_{2},y_{1}\pm y_{2},z_{1}\pm z_{2})$。
• 向量乘以1個數時，各個分量都同時擴大：$k{\vec {a}}=k(x_{1},y_{1},z_{1})=(kx_{1},ky_{1},kz_{1})$。

此外，全體二維向量構成的集合或平面直角坐標系中的全體構成的點的集合都記作$\mathbb {R} ^{2}$，全體三維向量構成的集合或三維直角坐標系中全體點構成的集合都記作$\mathbb {R} ^{3}$。

提示：點的集合與向量的集合有著相似的表達方式。不難看出，數軸上的點的加減法與一維向量的加減運算法則是相似的（這2種加法之間的映射是一種同構關係）。事實上，由於數集與向量集之間存在同構關係，在高等數學中一般會忽略它們的表象區別，只關心它們的代數實質，因而也不會刻意區分空間中的點和向量。這種依靠合理的抽象，透過現象研究本質規律也是數學發展的特點。

知識背景：將n維空間中的全體點的集合記為$\mathbb {R} ^{n}$出自於集合論中的笛卡爾積符號。在高中階段不需要了解笛卡爾積的概念。

如果在平面（或空間）直角坐標系下向量的減法的坐標變換規律，可以發現：一個向量的坐標等於表示此向量的有向線段的終點的坐標減去初始點的坐標。

相關例題1： 已知平面向量${\vec {a}}=(x,y)$，求出其模關於這2個坐標的表達式。

相關例題2： 已知空間向量${\vec {a}}=(x,y,z)$，求出其模關於這3個坐標的表達式。

相關例題3： 已知平面向量${\vec {a}}=(2,m),m\in \mathbb {R} ,|{\vec {a}}|=5$，求m的可能取值。

相關例題4： 已知在平面直角坐標系中，O為坐標系原點，${\vec {OA}}=(1,2),{\vec {OB}}=(2,-1),{\vec {OP}}=x{\vec {OA}}+y{\vec {OB}},1\leq x\leq y\leq 2$。求出點P的所有可能位置所構成的區域面積。

方向向量與向量的歸一化

對於任意非零向量${\vec {a}}$，與它同方向的單位向量就叫做向量${\vec {a}}$的單位向量或向量${\vec {a}}$的歸一化向量或沿向量${\vec {a}}$的方向向量。求任意非零向量的單位向量的過程叫做向量的歸一化或對向量進行歸一化。易知任意非零向量${\vec {a}}$的歸一化結果可以表示為自身與模長倒數的乘積，即${\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$。換句話說，向量的歸一化只是對其長度的歸一化，但是不會改變其方向。

對於一個向量${\vec {a}}(x_{a},y_{a})$，由畢氏定理可知：

• $|{\vec {a}}|=|(x_{a},y_{a})|={\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}}$
• ${\vec {a}}$的歸一化向量（即方向向量）為${\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}={\frac {\vec {a}}{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}}}$

由於「normalization」一詞除了被翻譯為「歸一化」，也被翻譯為「標準化」，所以「歸一化向量」或「單位向量」也叫做「標準化向量」。

向量的一般性分解

。將向量表達為等效的多個向量之和的過程，叫做對向量的分解（decomposition）。建立直角坐標系然後將向量沿2個坐標軸進行分解的做法叫做對向量的正交分解（orthogonal decomposition of a vector）。正交就是垂直的意思。容易看出，直角坐標系取定以後，對平面中任何向量的正交分解的結果是唯一的。

正交分解是最容易處理的分解方式。例如在物理中要求眾多的力的合力，可以選取合適的正交坐標系，先對每個力進行正交分解以後再分別沿x軸或y軸合成。這是一種將幾何問題代數化處理的方法。

向量也可以沿不垂直的方向分解。我們可以任取2個不平行的非零方向向量，然後將給定的向量通過作圖的方法分別沿它們所在的直線分解。非正交的分解滿足以下規律（稍作了解即可）：

平面向量基本定理：如果${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}}$是同一平面內的2個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數可以使得下列向量分解式成立：
${\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {e_{1}}}+\lambda _{2}{\vec {e_{2}}}$

我們把其中的${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}}$叫做表示這一平面內所有向量的一組基底（base）。在同一平面內可以選出多組不同的基底。

對於最常用的平面直角坐標系和空間直角坐標系的基地，它們的基底向量都是彼此正交的單位向量。這種由彼此正交且長度都為一的單位向量組成的基底叫做標準正交基（orthonormal basis）。

定比分點

設點P是直線$P_{1}P_{2}$上異於$P_{1},P_{2}$的任意一點，若存在一個實數$\lambda \quad (\lambda \neq -1)$，使得${\vec {P_{1}P}}=\lambda {\vec {PP_{2}}}$，則$\lambda$叫做點P分有向線段$P_{1}P_{2}$所成的比，P點叫做有向線段$P_{1}P_{2}$的以$\lambda$為比值的定比分點。

由以上定義和幾何直觀可以推知：當點P在線段$P_{1}P_{2}$上時，$\lambda >0$；當點P在線段$P_{1}P_{2}$或$P_{2}P_{1}$的延長線上時，$\lambda <0$。

定比分點問題經常會涉及具體的坐標計算，且其分點坐標也與線段的2個端點坐標存在直接的比例關係。

若已知$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2}),P(x,y),\lambda \in \mathbb {R}$，則有下列條件彼此等價：

• P是線段$P_{1}P_{2}$的分點，且滿足${\vec {P_{1}P}}=\lambda {\vec {PP_{2}}}$
• $x={\frac {x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda }},y={\frac {y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda }}$
• ${\vec {OP}}={\frac {{\vec {OP_{1}}}+\lambda {\vec {OP_{2}}}}{1+\lambda }}$
• ${\vec {OP}}=t{\vec {OP_{1}}}+(1-t){\vec {OP_{2}}}\quad (t={\frac {1}{1+\lambda }})$

其中最後一個關係式叫做線段的定比分點公式（section formula）。

相關例題1： 在矩形ABCD中，已知其中3個頂點的坐標A (2, 1), B (5, 4), C (3, 6)，點E是CD邊的中點。聯結BE與矩形的對角線AC，交於點F。求點F的坐標。

相關例題2： 已知$A(2,3),B(-1,5),{\vec {AC}}={\frac {1}{3}}{\vec {AB}},{\vec {AD}}=3{\vec {AB}}$。求C點與D點的坐標。

定比分點問題還有直線分線段比公式和定比分點面積公式。

相關例題3： 已知三角形ABC的3個頂點坐標分別為A (1, 1), B (5, 3), C(4, 5)。直線$l$平行於AB，交AC於點D，且平分三角形ABC的面積。求D點的坐標。

相關例題4： 已知P為三角形ABC內一點，${\vec {AP}}={\frac {2}{5}}{\vec {AB}}+{\frac {1}{5}}{\vec {AC}}$，求三角形ABP與三角形ABC的面積之比。

補充習題

參見

• 高中物理/力與運動/力的合成與分解
• 斜坐標系與對偶向量

外部連結

維基百科中的相關條目：

正交分解

維基百科中的相關條目：

標準正交基

維基百科中的相關條目：

定比分點公式