高中數學/函數與三角/函數的概念

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

數學的核心是研究數與形在各種變化中的不變規律，函數的概念就是研究變量之間依賴關係的基礎。在本節，我們先從集合之間的對應關係開始，逐漸介紹函數的定義與相關概念。

注意：讀者需要特別注意教輔資料中可能提及的有關「映射」的概念。一些高中教輔資料會先介紹什麼是映射，然後將函數作為特殊的映射引入。不過在現代數學中，映射和函數這2個名詞已經從概念上被定義為等價品，並沒有必要加以區分。高中階段的數學考試也不會考有關映射的概念。

基礎知識

從對應關係到函數

讀者朋友們應該在初中/國中階段就已經了解什麼是一次函數、二次函數、反比例函數，也了解自變量和因變量的大致概念，當然實際生活中可能碰到的變量依賴關係肯定不會僅僅局限於這幾種有限的情況。此外，我們也學習了簡單的集合論。我們現在用集合論的新術語，對之前粗略了解的函數概念給出一個更準確也更普適的定義。

如果把2個事物a和b寫成有序組的形式(a, b)，我們就稱這是a與b的一個關係（relation），記作「aRb」。

關係是有順序的二元組合，其中前者a和後者b可以相同，也可以不同，但是它們的排列順序不能隨意顛倒。數學中主要關注變量與變量之間的關係，關係也可以描述其它事物與其它事物之間的前後聯繫，甚至是關係與關係之間的關係（就像以後會學習到的範疇論中的做法一樣）。

定義：一個映射（map）或者稱函數（function）就是2個集合X、Y和滿足下列條件的一組關係R構成的整體：

• 對於每個$x\in X$，都能且只能找到一個關係，使之對應上某一個確定的$y\in Y$。
• 每一個關係中包含的前者都從X中取值，後者都從Y中取值。

其中集合X叫做此函數的定義域（domain），Y叫做此函數的對應域（codomain）、到達域或陪域。對於每一個$x_{0}\in X$，它在對應關係下的取值記作$f(x_{0})$，叫做該點的對應函數值（function value）。一個函數的所有可能取到的函數值所組成的集合叫做函數的值域（range）。

簡而言之，給定一個集合X和一個與之匹配的關係R，如果它們滿足「對於每一個$x\in X$，有且僅有一個對應關係可以使之找到匹配的結果值」，這個映射就叫做映射或函數。函數的自變量的有效取值範圍叫做定義域，因變量的有效取值範圍叫做值域。定義域是集合A的函數也叫做「定義在集合A上的函數」。

$f$是一個將所有定義域$X$(紅色區塊)中的點$x\in X$對應到點$f(x)\in Y$的函數。蒐集所有點$f(x)$的集合(黃色區塊)為函數$f$的值域，$Y$(藍色區塊)為$f$的對應域。

提示：在後續的高等數學課程中，我們有時候不直接指明函數的值域（其實就是懶得指明具體的值域），而是籠統地給出一個包含了值域的更大集合（也就是到達域）。從定義域A到到達域B的對應關係$f$可以籠統地寫為$f:A\rightarrow B$，此時也稱$f(x)$是從集合A映射到集合B的函數。

提示：將函數定義為特殊的關係是數學家約翰·狄利克雷（1805年－1859年）搞的鬼。另一種流行的定義是萊昂哈德·歐拉（1707年－1783年）給出的，他直接乾脆地將函數定義為數值或變量之間的明確對應法則。我們將要學習的函數的表示符號$f(x)$也是歐拉使用的記法。

玩笑：不要把數學文獻中的「map」一詞翻譯成「地圖」。雖然地圖一般也可以視為一種映射。

一元函數、多元函數與隱式函數

介紹一些描述函數類型的常見術語：

• 一元函數/單變元函數：自變量個數為1的函數。
• 多元函數/多變元函數：自變量個數為多個的函數。
• 顯式函數：以明確解析式描述的函數。
• 隱式函數：對應關係隱藏在方程中的函數。一般以方程的形式給出，但其形式不是直接明了的解析式。
• 單值函數：每個或每組自變量只對應一個因變量的函數。即本節定義的函數。
• 多值函數：每個或每組自變量同時對應多個因變量的函數。這是習慣上的稱呼，多值函數嚴格來說不是真正的函數。

函數還有一些其它的分類標準，我們在後面學到時再介紹。

知識背景：函數的解析式也叫做封閉形式的表達式或閉式解（ closed-form expression）。初等函數和閉式解這2個名詞的由來都源於法國數學家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville，1809年－1882年）在微分代數領域的研究。他想研究什麼樣的函數在不定積分運算中會保持函數類型的不變性。在數學的其它領域，函數的初等性和研究函數是否有閉式解，不一定具有很大意義。不過在中學數學階段，我們會對常見函數的顯式解（解析解）及其變形技巧關注得比較多。相關知識介紹參見初等函數概述章節。

注意：一般提及函數時，默認討論的都是單值函數。如果需要討論多值函數，我們就需要明確地指出「多值」二字。在高中階段，我們幾乎都是只討論一元的單值函數。

不懂就問：多值函數並不是標準的函數，為什麼時至今日還是有數學工作者時不時使用這個名稱呢？原因有二：其一，現代數學文獻中的符號和術語仍然不是完全統一的，不同國家、地域、學派、個人都有特定的習慣，也有一些是歷史傳統的原因；其二，因為他們開心呀！

函數的表示法

函數有以下幾種表示方法：

• 文字描述法
• 解析式法
• 方程描述法
• 圖象法

其中文字描述法不適合數學關係複雜的函數；圖象法一般使用直角坐標系繪圖，能直觀表示許多常見函數的變化情況，但不能精確地描述數量關係。

提示：在單值函數的圖象上，絕不會有2個不同點的自變量取值相同。

相關例題1：函數$f(x)$的圖象與直線$x=a\quad (a\in \mathbb {R} )$的交點(    )。
A.至多有1個；B.至少有1個；C.有且只有1個；D.有2個以上

參考解答：
函數的定義表明，對於定義域內每一個x的具體取值，都只有1個唯一的y值與其對應；而對於定義域外的x取值，自然不存在對應的y值。所以反映到函數的圖象上，就是函數的圖象只會與豎直直線$x=a$頂多存在1個交點。

答案：A。

相關例題2：下列不能稱作為或表示為一個函數的是(    )。
A.直線方程；B.圓的方程；C.$y=5\quad (x\in \mathbb {R} )$；D.$y=\pm x\quad (x\in \mathbb {R} )$

參考解答：
在圓的方程中，1個x值可能同時對應2個滿足方程的y值，所以圓的方程不能直接看作函數。例如由勾股定理可知，方程$x^{2}+y^{2}=1$能表示所有到坐標系原點距離為1的點，也就是表示一個圓心在坐標系原點、半徑為1的圓周。顯然當x = 0時，滿足方程的y可能是1，也可能是-1。由於這違法函數的定義，所以不能算作函數。$y=\pm x$也是同理，每1個x值按照對應關係都會算出來不只1個y值，所以也不是函數。

答案：B和D。

點評：(1)在以x、y為變量的雙變量方程中，一般默認x是自變量，y是因變量。(2)方程$x^{2}+y^{2}=1$叫做平面直角坐標系內圓的標準方程，它表示圓心在坐標系原點、半徑為1的圓周。圓的標準方程可以看作是包含了2個隱函數（即包含端點的上半圓周$y={\sqrt {1-x^{2}}}\quad (-1\leq x\leq 1)$和下半圓周$y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\quad (-1<x<1)$），但該方程本身不能稱作y關於x的函數。

定義域的判斷

定義域有時會直接指明，有時可以通過函數的特點推理出來。函數自變量的默認取值範圍為一切使函數解析式有意義的實數。

常見的定義域判斷方法：

• 排除使分母取值為0的自變量值。
• 排除使根號內的數取值為負數的自變量值。
• 根據其它特定函數對自變量的限制而定。

相關例題1：求函數$f(x)={\frac {1+x}{1-x}}$的定義域。

相關例題2：求函數$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$的定義域。

相關例題3：求函數$f(x)={\frac {\sqrt {x-3}}{|x+1|-5}}$的定義域。

相關例題4：求函數$f(x)={\sqrt {(x-1)(x-2)}}$的定義域。

相關例題5：若周長始終等於固定值a的矩形，它的面積S是這個矩形的一個邊長x的函數，求這個函數的定義域。

判斷2個函數等價的方法：

• 定義域必須相同。
• 對應關係必須相同。

相關例題6：下列哪個函數與y = x相同？(    )
A.$y=({\sqrt {x}})^{2}$；B.$y={\sqrt {x^{2}}}$；C.$y={\sqrt[{3}]{x^{3}}}$；D.$y={\frac {x^{2}}{x}}$

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

函數