高中數學/函數與三角/函數的周期性

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

周期現象是生活和學術中經常出現的一種現象。為了在數學中研究這些現象，人們引入了周期函數。後面我們將要學習的各個三角函數都是周期函數。

基礎知識

周期函數的定義

如果存在一個非零實數$T$,在一個函數的定義域I中任取1個值$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，就把$f(x)$稱為周期函數，把$T$叫做這個函數的周期(Period)。

如果一個函數$f(x)$是周期函數，那麼使得$f(x+T)=f(x)$成立的最小的正數$T$稱為該函數的最小正周期。

顯然，一個周期函數的最小正周期的非零整數倍都是這個函數的周期。然而，不是所有的周期函數都具有最小正周期。例如，一個常函數$f(x)=C$，很顯然符合周期函數的定義；但是，找不到一個最小的正數作為它的周期。