高中數學/函數與三角/函數方程簡介

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

高中階段常遇到某些與函數的抽象推理有關的問題其實是屬於函數方程的求解。高中階段遇到的函數方程問題比較簡單，有一些通用的解題技巧，因此我們將其放在一起講解和練習。但是更一般化的函數方程可能是很難求解的。例如柯西函數方程在有理數範圍內的求解就具有一定的技巧性，只需作一定了解即可。我們在後面的數列章節將要學習到的遞推關係式本質上也屬於函數方程的一種，叫做差分方程；後面在微積分課程中要學習的微分方程也與函數方程存在聯繫。

函數方程和微分方程一樣，都廣泛存在於數值分析和特殊函數理論中。特殊函數理論是專門整理和研究物理學和數學中某些常見函數的分支學科。

基礎知識

在先前的章節中，我們已經遇到過已知形如$f(x)=2f({\frac {1}{x}})+3x$的條件，求$f(x)$解析式的問題。除了已經介紹的直接的換元和構造方程組的取巧辦法，我們現在來更一般化也更集中地討論這類函數解析式與函數值的推理問題，並介紹一些相關概念。

函數方程（functional equation）是包含未知函數的方程。未知函數可能多次出現在方程中，但是其內部變元形式可能是不一致的。同時成立的多個函數方程叫做函數方程組。與代數方程一樣，函數方程也有可能是多解或無解的。當存在多個解時，如果多個解都是形式相似的，我們就可以將它們叫做一組一般解（general solution）或通解；而其中某個特定的解叫做特解（particular solution）。要求出具體的函數解析式，或求出特定點的未知函數值，還必須給出或者保證能推理出足夠數量的已知值，這些解題必需的已知值叫做初始值（initial value condition）、初始條件（initial condition）或邊界值（boundary value）。

對於高中階段遇到的函數方程，並非都是要先根據約束條件求出函數的具體解析式，有時也可以只根據某些已知條件推測出要求的特定值即可。

相關例題1：已知函數$f(x)=ax^{2}-1$，a為正數，且$f(f(-1))=-1$，求a的值。

解函數方程比較鍛鍊抽象推理能力，需要在有限的條件內儘可能通過嘗試不同的特殊數值或變量代換，挖掘出儘可能多的信息。常用的技巧為：

• 將函數表達式中的變量全部或部分地取為0或1。
• 將函數表達式中的變量取為彼此顛倒或彼此相反的數或變量。

進行嘗試的常見思路方向為：

• 先試探出函數在自變量取0、1、-1等特殊點上的取值。
• 先試探出函數$f(x)$與$f(x+a)$是否存在確定的遞推關係式或函數是否有周期性

相關例題2：已知定義在$\mathbb {R}$上的函數$f(x)$滿足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\quad (x,y\in \mathbb {R} )$，且$f(1)=2$，求$f(-3)$的值。

相關例題3：設函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$滿足$f(0)=1$，且對任意$x,y\in \mathbb {R}$，都有$f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$。求$f(2019)$的值。

相關例題4：已知$f(x+y)=f(x)+f(y)$對任意實數x、y都成立，判斷$f(x)$的奇偶性。

相關例題5：若$f(x)$是定義在$(0,+\infty )$上的增函數，且對一切$x,y>0$，滿足$f({\frac {x}{y}})=f(x)-f(y)$。

(1) 求$f(1)$的值。

(2) 若$f(6)=1$，求不等式$f(x+3)-f(2)<1$的解集。

相關例題6：$f(x)$是定義在$(0,+\infty )$上的函數，且滿足$f(xy)=f(x)+f(y)$，$f({\frac {1}{3}})=1$，當$x>1$時，$f(x)<0$。

(1) 求$f(1)$的值。

(2) 判斷函數$f(x)$的單調性。

(3) 解不等式$f(x)+f(x-2)>-1$。

相關例題7：函數$f(x)$的定義域為D，若對任意的$x_{1},x_{2}\in D$，當$x_{1}<x_{2}$時，都有$f(x_{1})\leq f(x_{2})$，則稱$f(x)$在D上為非減函數。設$f(x)$在[0, 1]上為非減函數，且滿足$f(0)=0$、$f({\frac {x}{3}})={\frac {1}{2}}f(x)$、$f(x)+f(1-x)=1$。求$f({\frac {1}{3}})$和$f({\frac {1}{8}})$的值。

常用結論與常見模型

柯西函數方程

柯西函數方程在有理數範圍內的求解是解法研究得比較成熟的少數函數方程之一。如果擴大到實數範圍內求解，問題的答案就會變得非常複雜。我們只討論限定在有理數範圍內的柯西函數方程，其求解步驟不長，而且思路很有代表性。

解的形式唯一性問題示例

階乘的多種擴展

階乘關係有多種可能的範圍擴展也可以作為說明函數方程可以存在多種延拓形式的有趣例子。

階乘是一種自變量只能取離散整數值的特殊函數，其定義為（在組合學中為了計算方便，往往還會對階乘運算附加規定$f(0)=1$，不過我們在這裡暫時只考慮自變量為正數值的情形）：

$f(n)=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad n=1\\1\times 2\times ...\times n,\quad n\geq 2\end{array}}\right.$

它滿足遞推關係$f(n+1)=nf(n)\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$和初始$f(1)=1$條件，卻存在不止一種擴展。雖然它最知名的拓展形式是微積分學中常見的Γ函數，但是此函數並不是階乘的唯一拓展形式。阿達馬伽瑪函數就是另外一個同時滿足這些條件的例子。換句話說，即使同時給出$f(n+1)=nf(n)\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$和$f(1)=1$這2個限制條件，也仍無法將函數$f(x)$的形式唯一確定下來。

丹麥數學家哈拉爾德·玻爾和約翰尼斯·莫勒魯普後來意外發現，若想讓上述的階乘函數唯一地延拓為常用的Γ函數，還缺少一個限制條件：對數凸性。這個結論後來就被稱作玻爾-莫勒魯普定理。它是一個令人驚異的定理，指出定義形式看似「高等」的Γ函數其實可以被3條抽象性質等價地刻劃出來：

• $f(1)=1$
• $f(x+1)=xf(x),\quad x>0$
• $\Gamma (x)$是對數凸的。

反射公式

如果函數$f(x)$同時以$f(a-x)$和$f(x)$的形式出現在等式中，這樣的等式就被稱作函數的反射公式（reflection formula）。

奇函數、偶函數以及廣義奇偶性的定義就是反射公式的最簡單例子。

反射公式也常見於特殊函數理論中。例如在以後的微積分課程中就會學到，Γ函數就滿足著名的歐拉反射公式（Euler's reflection formula）：

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

函數方程

維基百科中的相關條目：

柯西函數方程