高中數學/不等式與數列/平均值不等式

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

先前我們已經了解，任何實數的平方或取實數值的代數式的平方一定不會小於0，這是推導各種常用不等式的起點。

基礎知識

2種平均數的定義與基本不等式

定義：對於任意的2個正數，稱${\frac {a+b}{2}}$叫做它們的算術平均數（arithmetic mean），${\sqrt {ab}}$叫做它們的幾何平均數（geometric mean）。

定理：任意兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。即對於任意的正數a和b，一定有：${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$
若且唯若（if and only if，縮寫為「iff.」）a = b時，上式中的等號成立。
這個不等式也叫做算術-幾何平均值不等式（inequality of arithmetic and geometric means），簡稱平均值不等式或基本不等式。

證明：
${\begin{aligned}{\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}>0&\Leftrightarrow a+b\geq 2{\sqrt {ab}}>0\\&\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab>0\\&\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}\geq 4ab>0\\&\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\geq 0\\&\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0\\&\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0\\\end{aligned}}$
最後一個式子顯然成立，並且上式中的等號若且唯若a = b時才成立。證明完畢。

注意：(1)只有保證a和b都是正數的前提下，才能套用平均值不等式。(2)不等式的取等條件是否成立非常重要，在證明題和解答題中都需要單獨說明。

對平均值不等式的多種理解

算術-幾何平均值不等式的幾何意義。

從幾何角度看，基本不等式本身的意義如右圖所示。另一方面，從代數角度來看，平均值不等式可以說明對於2個正數：

• 如果限定它們的和為固定值，那麼它們的乘積一定存在最大取值${\sqrt {ab}}$。
• 如果限定它們的乘積為固定值，那麼它們的和一定存在最小取值${\frac {a+b}{2}}$。

常用以口訣簡記為「和定積最大，積定和最小」。「和定積最大」的意義是說當長方形的周長一定時，其面積有最大值，若且唯若長方形是正方形時面積值達到最大；「積定和最小」的意義是說當長方形的面積一定時，其周長有最小值，若且唯若長方形是正方形時周長值達到最大。

提示：對於了解過等差數列和等比數列概念的讀者，如果把${\frac {a+b}{2}}$看作是正數a和b的等差中項，${\sqrt {ab}}$看作是它們的等比中項，那麼這個基本不等式也可以表述為任意兩個正數的等差中項不小於它們的等比中項。

簡單的分式最值

相關例題1： 已知x > 0，求函數$y=x+{\frac {1}{x}}$的最小值。

解答：
因為$x>0,{\frac {1}{x}}>0$，所以由平均值不等式可知：
$x+({\frac {1}{x}})\geq 2{\sqrt {x\times ({\frac {1}{x}})}}=2{\sqrt {1}}=2$
若且唯若$x={\frac {1}{x}}$（此時$x=1$，另一個解$x=-1$因不滿足條件$x>0$而捨去）時上式中的等號成立。
所以原函數的最小值為2。

答案：$2$。

相關例題2： 已知x > 0，求函數$y=x+{\frac {x^{2}+1}{x}}$的最小值。

相關例題3： 已知x > 1，求函數$y=x+{\frac {x+3}{x-1}}$的最小值。

解答：
$x+{\frac {x+3}{x-1}}=x+{\frac {(x-1)+4}{x-1}}=x+{\frac {x-1}{x-1}}+{\frac {4}{x-1}}=x+1+{\frac {4}{x-1}}=(x-1)+{\frac {4}{x-1}}+2$
因為$x-1>0,{\frac {4}{x-1}}>0$，所以由平均值不等式可知：
$y=(x-1)+{\frac {4}{x-1}}+2=2{\sqrt {(x-1)\times {\frac {4}{x-1}}}}+2=2{\sqrt {4}}+2=6$
若且唯若$x-1={\frac {4}{x-1}}$（此時$x=3$，另一個解$x=-1$因不滿足條件$x>1$而捨去）時上式中的等號成立。
所以原函數的最小值為6。

答案：6。

相關例題4： 已知x > 1，求函數$y={\frac {x^{2}+1}{x-1}}$的最小值。

相關例題5： 已知x > 0，求函數$y={\frac {x}{x^{2}+4}}$的最大值。

相關例題6： 已知a > b > c，比較${\sqrt {(a-b)(b-c)}}$與${\frac {a-c}{2}}$的大小關係。

項的簡單配湊

相關例題1： 已知x > 3，求函數$y=x+{\frac {4}{x-3}}$的最小值，並求取到最小值時x的值。

相關例題2： 已知$x>{\frac {1}{2}}$，求函數$y={\frac {2x^{2}+x+1}{2x-1}}$的最小值。

相關例題3： 已知x > 3，求函數$y={\frac {3-x}{x^{2}+x+1}}$的最小值。

相關例題4： 求函數$y=3x^{2}+{\frac {6}{x^{2}+1}}$的最小值。

解決某些二次函數的極值問題

相關例題1： 已知0 < x < 3，求使得函數$y=x(3-x)$取得最大值時x的值。

相關例題2： 利用平均值不等式求解下列各個函數的最小值：
(1)$y_{1}=(x-1)(x+2)\quad (-2\leq x\leq 1)$。
(2)$y_{2}=(x-1)(x-2)\quad (1\leq x\leq 2)$。
(3)$y_{3}=(x+1)(x+2)\quad (-2\leq x\leq -1)$。
(3)$y_{4}=(x-1)(2x+1)\quad (-2\leq x\leq -1)$。

相關例題3： 已知x > 0，求函數$y={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x-3}}$的最大值。

常用結論與常見模型

使用基本不等式求最值的關鍵是拼湊出「定和」或「定積」的形式，並保證等號要能成立。常用技巧包括：

• 加項或拆項。
• 減少變量數目或統一變元
• 平方後再利用基本不等式
• 利用約束條件中的常量代換

約束條件的代換

有時候，要求最值的式子和所給的定值約束條件不太相符。這時可以考慮利用約束條件可以進行變量或常量的等價替換，以便拼湊出滿足基本不等式的形式條件。

• 通過換元，將包含多個變量的式子減少變量數目或統一變元。
• 常量代換，這種方法最常用於「已知$ma+nb=k$，求${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}$的最小值」和「已知${\frac {m}{a}}+{\frac {n}{b}}=1$，求$a+b$的最小值」的題型（其中m和n是已知常數，且a、b、m、n均為正數）。

相關例題1： 已知a > 0，b > 0，且$a+b=2$，求${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}$的最小值。

相關例題2： 已知a > 0，b > 0，且${\frac {1}{a}}+{\frac {9}{b}}=1$，求$a+b$的最小值。

相關例題3： 若正數a、b滿足$a^{2}+3ab-1=0$，求$a+b$的最小值。

相關例題4： 設$a+3b-2=0$，求$3^{a}+27^{b}+1$的最小值。

相關例題5： 已知a > 0，b > 0，$a+2b+2ab=8$，求$a+2b$的最小值。

相關例題6： 設正實數a、b、c滿足$a^{2}-3ab+4b^{2}-c=0$，則當${\frac {c}{ab}}$取最小值時，求$a+2b-c$的最大值。

係數的配湊

相關例題1： 已知a > 0，b >0，${\frac {a}{2}}+{\frac {b}{3}}=2$，求$ab$的最大值，並求取到最大值時a、b的值。

相關例題2： 已知正實數a、b滿足$a+b=4$，求${\frac {1}{a+1}}+{\frac {1}{b+3}}$的最小值。

基本不等式的多次應用與簡單的3元情形

相關例題1： 已知a > 0，b > 0，求${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+2{\sqrt {ab}}$的最小值。

相關例題2： 已知0 < x < 2，求$x^{2}(2-x)$的最大值。

相關例題3： 已知a、b、c都是正數，求證：$(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8abc$。

相關例題4： 設$a,b,c>0$，求證：$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$。

相關例題5： 求證：$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$。

證明：
${\begin{array}{l}\left\{{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}\geq 2ab\\b^{2}+c^{2}\geq 2bc\\c^{2}+a^{2}\geq 2ca\end{array}}\right.\\\Rightarrow (a^{2}+b^{2})+(b^{2}+c^{2})+(c^{2}+a^{2})\geq 2ab+2bc+2ca\\\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)\\\Rightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\end{array}}$
上式中的等號若且唯若$a=b=c$時成立。證明完畢。

相關例題6： 已知a、b、c都是正數，求證：${\frac {a^{2}}{b}}+{\frac {b^{2}}{c}}+{\frac {c^{2}}{a}}\geq a+b+c$。

相關例題7： 已知a、b、c是互不相等的正數，且$a+b+c=1$，求證：$({\frac {1}{a}}-1)({\frac {1}{b}}-1)({\frac {1}{c}}-1)\geq 8$。

相關例題8： 已知a、b、c為不全相等的正實數，且$abc=1$，求證：${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\geq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}$。

對勾型函數的最值

相關例題1： 求$y=e^{x}+e^{-x}$的最小值。

相關例題2： 求$y={\frac {\sin x}{2}}+{\frac {2}{\sin x}}\quad (0<x<\pi )$的最小值。

結合對數知識的考察

相關例題1： 已知a > 0，b > 0，且$\lg 2^{a}+\lg 8^{b}=\lg 2$，求${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{3b}}$的最小值。

相關例題2： 若$2^{a}+2^{b}=1$，求$a+b$的取值範圍。

相關例題3： 比較$\lg 9\times \lg 11$與$1$的大小關係。

相關例題4： 已知a、b是正實數，且$2a+5b=20$，求：
(1)$\lg a+\lg b$的最大值；
(2)${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}$的最小值。

相關例題5： 已知函數$f(x)=\lg x\quad (x\in \mathbb {R} ^{+})$，若$x_{1},x_{2}\in (-0,+\infty )$，請比較${\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$與$f({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}})$的大小關係。

2元的平均數不等式鏈

對於2個正數a和b，有下列不等式鏈成立：
$\min\{a,b\}\leq {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}\leq {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}\leq \max\{a,b\}$
或
$\min\{a^{2},b^{2}\}\leq ({\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}})^{2}\leq ab\leq ({\frac {a+b}{2}})^{2}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\leq \max\{a^{2},b^{2}\}$
若且唯若a = b時，以上各等號同時成立。

它可以看作平均數不等式在只涉及2個變元時的特殊情形，給出了4種最常見的平均數的大小順序。

相關例題： 已知a > 0，b > 0，求${\frac {a+b}{2}}$、${\sqrt {ab}}$、${\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}$、${\frac {2ab}{a+b}}$中最小的一項一定是哪一項。

視野拓展：不等式鏈可以擴充到令人大跌眼鏡的程度。例如對於$0<a\leq b$，可以得到： ${\begin{aligned}a<(a^{b}b^{a})^{\frac {1}{a+b}}<{\sqrt {\frac {2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}<{\frac {2ab}{a+b}}<{\sqrt {ab}}<{\frac {(ab)^{1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}}(a^{\frac {1}{\sqrt {3}}}+b^{\frac {1}{\sqrt {3}}})}{2}}<{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}\\<({\frac {{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}{2}})^{3}<({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}})^{2}<{\frac {a+{\sqrt {ab}}+b}{3}}<({\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{2}})^{\frac {3}{2}}<{\frac {1}{e}}({\frac {a^{a}}{b^{b}}})^{\frac {1}{a-b}}\\<{\frac {a+b}{2}}<{\frac {2}{3}}{\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{a+b}}<{\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}<(a^{a}b^{b})^{\frac {1}{a+b}}<{\frac {a^{2}+b^{2}}{a+b}}<{\sqrt {a^{2}-ab+b^{2}}}<b\end{aligned}}$
顯然，這是一個很不和諧的東西，拿它來為難同學或老師都是非常不道德的行為。它只適合有收集癖的讀者。其中的某些中間鏈條涉及不少變形技巧與其它知識，並非僅靠套用基本不等式就能得到簡潔證明的。

上述均值不等式鏈的一部分——對數均值不等式（ALG不等式）在解決函數的極值點偏移問題上有著重要的應用。

補充習題

• 已知$a,b>0$，求證：${\frac {a}{b}}\geq 4(a-ab)$。
• 已知$a,b>0,a+2b=1$，求證：$ab\leq {\frac {1}{8}}$。
• 已知0 < x < 1，請用平均值不等式說明當x取何值時，${\sqrt {x(1-x)}}$可取到最大值。
• 已知0 < x < 2，求${\sqrt {x(2-x)^{2}}}$的最大值。
• 已知x > 0，求$(x+{\frac {1}{x}})-{\frac {1}{x+{\frac {1}{x}}}}$的最小值。
• 判斷下列做法是否有誤。如果有誤，請指出具體出錯原因。

(1)設x > 0，因為$(x+{\frac {1}{x}})+{\frac {1}{x+{\frac {1}{x}}}}\geq 2{\sqrt {(x+{\frac {1}{x}})\cdot {\frac {1}{x+{\frac {1}{x}}}}}}=2{\sqrt {1}}=2$，所以$(x+{\frac {1}{x}})+{\frac {1}{x+{\frac {1}{x}}}}$有最小值2。

(2)設k > 1，因為$(1-{\frac {1}{k}})(1+{\frac {2}{k}})={\frac {1}{2}}(1-{\frac {1}{k}})(2+{\frac {1}{k}})\leq {\frac {1}{2}}({\frac {(1-{\frac {1}{k}})+(2+{\frac {1}{k}})}{2}})^{2}={\frac {1}{2}}({\frac {3}{2}})^{2}={\frac {9}{8}}$，所以$(1-{\frac {1}{k}})(1+{\frac {2}{k}})$有最大值${\frac {9}{8}}$。

(3)設x > 0，因為$2x(x+1)\leq ({\frac {(2x)+(x+1)}{2}})^{2}=({\frac {3x+1}{2}})^{2}$，所以${\frac {(3x+1)^{2}}{2x(x+1)}}\geq {\frac {(3x+1)^{2}}{({\frac {3x+1}{2}})^{2}}}=4$，所以${\frac {(3x+1)^{2}}{2x(x+1)}}$有最大值4。

(4)因為$3{\sqrt[{3}]{2x(1-x)(2-x)}}\leq 2x+(1-x)+(2-x)=3$，所以$x(1-x)(2-x)$有最大值1。

外部連結

維基百科中的相關條目：

算術-幾何平均值不等式