高中數學/不等式與數列/一階遞推數列及通項公式的求解

閱讀指南

本節介紹從一種叫做一階遞推關係式的簡易遞推關係求解出數列通項的方法。此類數列遞推式的求解過程和轉換方法除了應付學校考試，對於以後學習差分方程、數學建模、組合數學等課程也有幫助。

無應試需要的讀者可以適當跳過本節內容。

基礎知識

一階遞推關係式的概念

形如 $a_{n+1}=f(a_{n})$ 的表達式叫做一階遞推關係式（recurrence relation of first order）。一階遞推關係式是將 $a_{n+1}$ 用含 $a_{n}$ 的解析式表達出來。
形如 $a_{n+k}=f(a_{n+k-1},a_{n+k-2},a_{n+k-3},...,,a_{n})\quad (k\geq 1,k\in \mathbb {N} )$ 的表達式叫做k階遞推關係式（recurrence relation of order k）。一階遞推關係式是將 $a_{n+1}$ 用含 $a_{n+k-1},a_{n+k-2},a_{n+k-3},...,,a_{n}$ 解析式表達出來。
形如 $a_{n+1}={\frac {a_{n}+c}{a_{n}+d}}$ 的表達式叫做分式型一階線性遞推數列。

以遞推關係表達的數列等式，也叫做差分方程（difference equation）。對於數列 $\{a_{n}\}$ ，記 $\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ 為它的前向差分（forward difference），簡稱差分（difference）， $\Delta$ 叫做數列的差分算子（difference operator）；記 $\nabla a_{n}=a_{n}-a_{n-1}$ 為它的後向差分（backward difference）， $\nabla$ 叫做數列的後向差分算子（backward difference operator）。

對於涉及遞推關係的問題，最常見的問題類型為已知數列中個別項的值（一般是最前幾項），求數列特定項的值或數列的通項公式。這2類問題是本節的關注重點。還有一些問題涉及到估計通項或前n項和的大小。對於估計大小的問題會在後續的放縮法章節再集中討論。

周期數列型問題

有的數列只需要通過簡單地迭代計算，就可以發現其存在周期性，可以通過其前幾項的值和周期大小，確定後續項的值。

相關例題1：若在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=3,a_{n}+a_{n-1}=4\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$ ，求 $a_{2017}$ 的值。

相關例題2：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=3,a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}-a_{n}+1=0\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $a_{2016}$ 的值。

相關例題3：已知數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{n}>0,a_{1}=1,a_{n+2}={\frac {1}{a_{n}+1}},a_{100}=a_{96}$ ，求 $a_{2018}+a_{3}$ 的值。

累加法與累乘法

累加法或累乘法可以看作直接遞推法的另一種表達形式。

相關例題1：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=1,a_{n+1}=a_{n}+2\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題2：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+1\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

提示：這道題也可以使用本節介紹的等比數列轉換法解答。

相關例題3：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=2,a_{n+1}=ka_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},k\neq 0)$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題4：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=2,a_{n+1}={\frac {n}{n+1}}a_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題5：已知數列 $\{a_{n}\}$ 的首項 $a_{1}=1$ ，且滿足 $a_{n+1}-a_{n}=(-{\frac {1}{2}})^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $a_{2018}$ 的值。

相關例題6：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{4}=81,a_{n}=2a_{n-1}+2^{n}-1\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},n\geq 2)$ 。
(1)求數列的前3項 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 。
(2)若數列 $\{{\frac {a_{n}+p}{2^{n}}}\}$ 為等差數列，求實數p的值。
(3)求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式和前n項和。

相關例題7：在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=1,a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{n(n+1)}}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題8：已知整數數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{2}=3,a_{n+1}-a_{n-1}<3^{n}+{\frac {1}{2}},a_{n+2}+a_{n}>3^{n+1}-{\frac {1}{2}}$ ，求 $a_{2018}$ 的值。

等比數列轉換法

我們可以換一種思路解決上面出現過的已知 $a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+1\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式的例題。

相關例題1：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=1,a_{n+1}=3a_{n}+1\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式的例題。

這種方法並不限於解決這種形式的問題，不過它要求解題者對可能存在的等比數列構造形式具有一定的觀察力，有時需要結合經驗多次嘗試。兔子數列也可以採用這種方法巧妙求解。

取對數法

相關例題1：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=3,a_{n+1}=a_{n}^{k}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},k>1,k\in \mathbb {N} )$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

提示：由於對數運算可以將乘積關係轉換為加減關係、將指數化為倍數，取對數法也可以將遞推式 ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=k\quad (k>0)$ 轉換為 $\lg a_{n+1}-\lg a_{n}=\lg k\quad (k>0)$ 形式，從而將可以累加的遞推式變為可以累乘的遞推式。

相關例題2：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{n+2}=a_{n+1}a_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},k>1,k\in \mathbb {N} )$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

取倒數法

對於 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 都分別出現在2個分式的分母中的某些一階遞推數列，常見的方法是對等式兩側減去合適的數，然後同時取倒數後再構造等比數列。這種方法只能解決分母的形式是 $a_{n}$ 或 $a_{n+1}$ 的一次函數的情形，這種數列也叫做一階分式線性遞推數列。

相關例題：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}}{a_{n}+2}}(n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

要減去的數具體取什麼值才合適有時比較難確定。這時如果考慮使用不動點法可能會比使用待定係數法更快地確定出這個數。

同除以某個代數式

相關例題1：已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{n+1}=a_{n}+2^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},k>1,k\in \mathbb {N} )$ ，求 $a_{9}$ 的值。

提示：這個題目也可以用累加法求解。

相關例題2：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=1,a_{2}={\frac {1}{3}},a_{n}(a_{n-1}+2a_{n+1})=3a_{n-1}a_{n+1}\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題3：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=3,a_{n+1}=3a_{n}+2\times 3^{n}+1$ ，求數列 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

利用通項與前n項和的轉換

有一類常見的遞推式，同時混雜有數列的通項 $a_{n}$ 和前n項和 $S_{n}$ 的表達式，這時應該優先考慮先將其利用關係式 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$ 轉換為只包含通項的形式或只包含前n項的形式。

注意：由 $S_{n}$ 求 $a_{n}$ 時， $n=1$ 時的情形和 $n>1$ 時的情形必須分開討論。即當 $n>1$ 時，才有 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ；而當 $n=1$ 時，是直接可知 $a_{1}=S_{1}$ 。

相關例題1：已知數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和為 $S_{n}={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

相關例題2：已知數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和為 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=2,S_{n+1}=4a_{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+},k>1,k\in \mathbb {N} )$ ，求 $a_{12}$ 的值。

相關例題3：若 $S_{n}$ 為數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和，且 $S_{n}=2a_{n}-2$ ，求 $S_{8}$ 的值。

相關例題4：已知數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和為 $S_{n}$ ，且有 $S_{n}={\frac {n+2}{3}}a_{n}$ ，求 ${\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}$ 的最大值。

相關例題5：已知數列 $\{a_{n}\}$ 的首項 $a_{1}=k$ ，其前n項和為 $S_{n}$ ，且滿足 $S_{n}+S_{n-1}=4n^{2}\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} ^{+})$ 。若對於任意的 $n\in \mathbb {N} ^{+}$ ，還有 $a_{n}<a_{n+1}$ 恆成立，求k的取值範圍。

相關例題6：設數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和為 $S_{n}$ ，數列 $\{S_{n}\}$ 的前n項和為 $T_{n}$ 。假設有 $T_{n}=2S_{n}-n^{2}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ 成立。
(1) 求 $a_{1}$ 的值。
(2) 求數列 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。

其它求解方法概述

需要觀察出遞推關係的問題

相關例題1：已知數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 ${\frac {\ln a_{1}}{3}}\cdot {\frac {\ln a_{2}}{6}}\cdot {\frac {\ln a_{3}}{9}}\cdot ...{\frac {\ln a_{n}}{3n}}={\frac {3n}{2}}(n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $a_{10}$ 的值。

三角換元法

相關例題2：在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=-2,a_{n+1}={\frac {1+a_{n}}{1-a_{n}}}\quad (n\geq 1)$ ，求 $a_{2012}$ 的值。

解答：
設 $a_{n}=\tan b_{n}$ ，則 $b_{n}=\arctan a_{n}$ 。那麼：
$a_{n+1}={\frac {1+a_{n}}{1-a_{n}}}\Rightarrow \tan b_{n+1}={\frac {1+tanb_{n}}{1-(tanb_{n})\times 1}}={\frac {\tan {\frac {\pi }{4}}+\tan b_{n}}{1-\tan b_{n}tan{\frac {\pi }{4}}}}=\tan(b_{n}+\pi 4)$
即 $\tan b_{n+1}=\tan(b_{n}+{\frac {\pi }{4}})=\tan(b_{n-1}+2{\frac {\pi }{4}})=\tan(b_{n-2}+3{\frac {\pi }{4}})=...=\tan(b_{1}+n{\frac {\pi }{4}})$ 。
即 $\tan b_{n}=\tan(b_{1}+(n-1){\frac {\pi }{4}})$ 。即 $a_{n}=\tan(\arctan(a_{1})+(n-1){\frac {\pi }{4}})$ 。
即 $a_{2012}=\tan(\arctan(-2)+(2012-1){\frac {\pi }{4}})={\frac {\tan(\arctan(-2))+\tan((2012-1){\frac {\pi }{4}})}{1-\tan(\arctan(-2))\tan((2012-1){\frac {\pi }{4}})}}={\frac {(-2)+(-1)}{1-(-2)\times (-1)}}={\frac {-3}{1-2}}=3$ 。

答案：3。

雙曲換元法

某些可求通項解的二次一階遞推數列

此外，對於一些所謂的線性的遞推關係式或可以轉換為此類情形的關係式，還可以考慮特徵方程法和矩陣法。了解這些方法還需要補充一些其它的預備知識，而且它們超出了一般學校的考試範圍，我們留在專門的對應章節中再論述它們。

補充習題

已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=2,2^{n+1}a_{n+1}=2^{n}a_{n}+1\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。
已知在數列 $\{a_{n}\}$ 中，有 $a_{1}=2,a_{n+1}=a_{n}+2^{n}+n\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。
已知數列 $\{a_{n}\}$ 的前n項和為 $S_{n}$ ，且滿足 $a_{1}=2,a_{n}+2S_{n}S_{n-1}=0\quad (n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$ 。(1)求證 $\{S_{n}\}$ 是等差數列。(2)求 $\{a_{n}\}$ 的通項公式。